Theorem prarloclemarch2 6489

Description: Like prarloclemarch 6488 but the integer must be at least two, and there is also B added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 6573. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemarch2	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C

Proof of Theorem prarloclemarch2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemarch 6488	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. z e. N. A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
2	1	3adant2 923	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. z e. N. A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
3		pinn 6379	. . . . . . . 8 |- ( z e. N. -> z e. om )
4		1pi 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. N.
5	4	elexi 2564	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. _V
6	5	sucid 4141	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. suc 1o
7		df-2o 5980	. . . . . . . . . 10 |- 2o = suc 1o
8	6, 7	eleqtrri 2113	. . . . . . . . 9 |- 1o e. 2o
9		2onn 6072	. . . . . . . . . . 11 |- 2o e. om
10		nnaword2 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2o e. om /\ z e. om ) -> 2o C_ ( z +o 2o ) )
11	9, 10	mpan 400	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> 2o C_ ( z +o 2o ) )
12	11	sseld 2941	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( 1o e. 2o -> 1o e. ( z +o 2o ) ) )
13	8, 12	mpi 15	. . . . . . . 8 |- ( z e. om -> 1o e. ( z +o 2o ) )
14	3, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> 1o e. ( z +o 2o ) )
15		o1p1e2 6026	. . . . . . . . 9 |- ( 1o +o 1o ) = 2o
16		addpiord 6386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o ) )
17	4, 4, 16	mp2an 402	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o )
18		addclpi 6397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) e. N. )
19	4, 4, 18	mp2an 402	. . . . . . . . . 10 |- ( 1o +N 1o ) e. N.
20	17, 19	eqeltrri 2111	. . . . . . . . 9 |- ( 1o +o 1o ) e. N.
21	15, 20	eqeltrri 2111	. . . . . . . 8 |- 2o e. N.
22		addpiord 6386	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ 2o e. N. ) -> ( z +N 2o ) = ( z +o 2o ) )
23	21, 22	mpan2 401	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( z +N 2o ) = ( z +o 2o ) )
24	14, 23	eleqtrrd 2117	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> 1o e. ( z +N 2o ) )
25		addclpi 6397	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. N. /\ 2o e. N. ) -> ( z +N 2o ) e. N. )
26	21, 25	mpan2 401	. . . . . . 7 |- ( z e. N. -> ( z +N 2o ) e. N. )
27		ltpiord 6389	. . . . . . . 8 |- ( ( 1o e. N. /\ ( z +N 2o ) e. N. ) -> ( 1o <N ( z +N 2o ) <-> 1o e. ( z +N 2o ) ) )
28	4, 27	mpan 400	. . . . . . 7 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( 1o <N ( z +N 2o ) <-> 1o e. ( z +N 2o ) ) )
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 |- ( z e. N. -> ( 1o <N ( z +N 2o ) <-> 1o e. ( z +N 2o ) ) )
30	24, 29	mpbird 156	. . . . 5 |- ( z e. N. -> 1o <N ( z +N 2o ) )
31	30	adantl 262	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> 1o <N ( z +N 2o ) )
32	31	adantrr 448	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> 1o <N ( z +N 2o ) )
33		nna0 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) = z )
34		0lt1o 6001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (/) e. 1o
35		1on 5986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1o e. On
36	35	onsuci 4229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- suc 1o e. On
37		ontr1 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( suc 1o e. On -> ( ( (/) e. 1o /\ 1o e. suc 1o ) -> (/) e. suc 1o ) )
38	36, 37	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (/) e. 1o /\ 1o e. suc 1o ) -> (/) e. suc 1o )
39	34, 6, 38	mp2an 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (/) e. suc 1o
40	39, 7	eleqtrri 2113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. 2o
41		nnaordi 6059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2o e. om /\ z e. om ) -> ( (/) e. 2o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 2o ) ) )
42	9, 41	mpan 400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. om -> ( (/) e. 2o -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 2o ) ) )
43	40, 42	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. om -> ( z +o (/) ) e. ( z +o 2o ) )
44	33, 43	eqeltrrd 2115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. om -> z e. ( z +o 2o ) )
45	3, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> z e. ( z +o 2o ) )
46	45, 23	eleqtrrd 2117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> z e. ( z +N 2o ) )
47		ltpiord 6389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. N. /\ ( z +N 2o ) e. N. ) -> ( z <N ( z +N 2o ) <-> z e. ( z +N 2o ) ) )
48	26, 47	mpdan 398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( z <N ( z +N 2o ) <-> z e. ( z +N 2o ) ) )
49	46, 48	mpbird 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> z <N ( z +N 2o ) )
50		mulidpi 6388	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) = z )
51		mulcompig 6401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
52	4, 51	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
53	26, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
54		mulidpi 6388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( z +N 2o ) )
55	26, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> ( ( z +N 2o ) .N 1o ) = ( z +N 2o ) )
56	53, 55	eqtr3d 2074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> ( 1o .N ( z +N 2o ) ) = ( z +N 2o ) )
57	49, 50, 56	3brtr4d 3791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. N. -> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) )
58		ordpipqqs 6444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
59	4, 58	mpanl2 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
60	4, 59	mpanr2 414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ ( z +N 2o ) e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
61	26, 60	mpdan 398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. N. -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( z .N 1o ) <N ( 1o .N ( z +N 2o ) ) ) )
62	57, 61	mpbird 156	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. N. -> [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q )
63	62	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q )
64		opelxpi 4354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z +N 2o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( z +N 2o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
65	4, 64	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> <. ( z +N 2o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
66		enqex 6430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ~Q e. _V
67	66	ecelqsi 6138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. ( z +N 2o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
68	26, 65, 67	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
69		df-nqqs 6418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
70	68, 69	syl6eleqr 2131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. N. -> [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
71		opelxpi 4354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. z , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
72	4, 71	mpan2 401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. N. -> <. z , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
73	66	ecelqsi 6138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. z , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. z , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. N. -> [ <. z , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
75	74, 69	syl6eleqr 2131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. N. -> [ <. z , 1o >. ] ~Q e. Q. )
76		ltmnqg 6471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
77	75, 76	syl3an1 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
78	70, 77	syl3an2 1169	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. N. /\ z e. N. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
79	78	3anidm12 1192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
80	79	ancoms 255	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q <-> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
81	63, 80	mpbid 135	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) <Q ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) )
82		mulcomnqg 6453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ [ <. z , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
83	75, 82	sylan2 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( C .Q [ <. z , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
84		mulcomnqg 6453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. Q. /\ [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
85	70, 84	sylan2 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( C .Q [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
86	81, 83, 85	3brtr3d 3790	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
87	86	3ad2antl3 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
88	87	adantrr 448	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
89		ltsonq 6468	. . . . . . . . . 10 |- <Q Or Q.
90		ltrelnq 6435	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
91	89, 90	sotri 4698	. . . . . . . . 9 |- ( ( A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) /\ ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
92	91	ex 108	. . . . . . . 8 |- ( A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
93	92	adantl 262	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) -> ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
94	93	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
95	88, 94	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
96		mulclnq 6446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
97	70, 96	sylan 267	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ C e. Q. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
98	97	ancoms 255	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. Q. /\ z e. N. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
99	98	3ad2antl3 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. )
100		simpl2 908	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> B e. Q. )
101		ltaddnq 6477	. . . . . . 7 |- ( ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
102	99, 100, 101	syl2anc 391	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
103	102	adantrr 448	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
104	89, 90	sotri 4698	. . . . 5 |- ( ( A <Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) /\ ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) ) -> A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
105	95, 103, 104	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) )
106		addcomnqg 6451	. . . . . . 7 |- ( ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) = ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
107	99, 100, 106	syl2anc 391	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) = ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
108	107	breq2d 3773	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) <-> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
109	108	adantrr 448	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( A <Q ( ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) +Q B ) <-> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
110	105, 109	mpbid 135	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
111		simpr 103	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> z e. N. )
112		breq2 3765	. . . . . . . 8 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( 1o <N x <-> 1o <N ( z +N 2o ) ) )
113		opeq1 3546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( z +N 2o ) -> <. x , 1o >. = <. ( z +N 2o ) , 1o >. )
114	113	eceq1d 6120	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( z +N 2o ) -> [ <. x , 1o >. ] ~Q = [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q )
115	114	oveq1d 5505	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) = ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) )
116	115	oveq2d 5506	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) = ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) )
117	116	breq2d 3773	. . . . . . . 8 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) <-> A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
118	112, 117	anbi12d 442	. . . . . . 7 |- ( x = ( z +N 2o ) -> ( ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) <-> ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
119	118	rspcev 2653	. . . . . 6 |- ( ( ( z +N 2o ) e. N. /\ ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
120	119	ex 108	. . . . 5 |- ( ( z +N 2o ) e. N. -> ( ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
121	111, 26, 120	3syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ z e. N. ) -> ( ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
122	121	adantrr 448	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> ( ( 1o <N ( z +N 2o ) /\ A <Q ( B +Q ( [ <. ( z +N 2o ) , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) ) )
123	32, 110, 122	mp2and 409	. 2 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) /\ ( z e. N. /\ A <Q ( [ <. z , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )
124	2, 123	rexlimddv 2434	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> E. x e. N. ( 1o <N x /\ A <Q ( B +Q ( [ <. x , 1o >. ] ~Q .Q C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2304   C_ wss 2914   (/)c0 3221   <.cop 3375   class class class wbr 3761   Oncon0 4087   suc csuc 4089   omcom 4291   X. cxp 4321  (class class class)co 5490   1oc1o 5972   2oc2o 5973   +o coa 5976   [cec 6082   /.cqs 6083   N.cnpi 6342   +N cpli 6343   .N cmi 6344   <N clti 6345   ~Q ceq 6349   Q.cnq 6350   +Q cplq 6352   .Q cmq 6353   <Q cltq 6355

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-lti 6377  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-1nqqs 6421  df-rq 6422  df-ltnqqs 6423

This theorem is referenced by:  prarloc  6573