Theorem pitri3or 6420

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6407	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 6407	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri3or 6072	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 273	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
5		ltpiord 6417	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		biidd 161	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A = B <-> A = B ) )
7		ltpiord 6417	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	ancoms 255	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
9	5, 6, 8	3orbi123d 1206	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 9	mpbird 156	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ w3o 884   = wceq 1243   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   omcom 4313   N.cnpi 6370   <N clti 6373

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-br 3765  df-opab 3819  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-ni 6402  df-lti 6405

This theorem is referenced by:  nqtri3or  6494  caucvgprlemnkj  6764  caucvgprlemnbj  6765  caucvgprprlemnkj  6790  caucvgprprlemnbj  6791  caucvgsr  6886