Theorem pinn 6407

Description: A positive integer is a natural number. (Contributed by NM, 15-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
pinn	|- ( A e. N. -> A e. om )

Proof of Theorem pinn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ni 6402	. . 3 |- N. = ( om \ { (/) } )
2		difss 3070	. . 3 |- ( om \ { (/) } ) C_ om
3	1, 2	eqsstri 2975	. 2 |- N. C_ om
4	3	sseli 2941	1 |- ( A e. N. -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1393   \ cdif 2914   (/)c0 3224   {csn 3375   omcom 4313   N.cnpi 6370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-in 2924  df-ss 2931  df-ni 6402

This theorem is referenced by:  pion  6408  piord  6409  elni2  6412  mulidpi  6416  ltsopi  6418  pitric  6419  pitri3or  6420  ltdcpi  6421  addclpi  6425  mulclpi  6426  addcompig  6427  addasspig  6428  mulcompig  6429  mulasspig  6430  distrpig  6431  addcanpig  6432  mulcanpig  6433  addnidpig  6434  ltexpi  6435  ltapig  6436  ltmpig  6437  nnppipi  6441  enqdc  6459  archnqq  6515  prarloclemarch2  6517  enq0enq  6529  enq0sym  6530  enq0ref  6531  enq0tr  6532  nqnq0pi  6536  nqnq0  6539  addcmpblnq0  6541  mulcmpblnq0  6542  mulcanenq0ec  6543  addclnq0  6549  nqpnq0nq  6551  nqnq0a  6552  nqnq0m  6553  nq0m0r  6554  nq0a0  6555  nnanq0  6556  distrnq0  6557  mulcomnq0  6558  addassnq0lemcl  6559  addassnq0  6560  nq02m  6563  prarloclemlt  6591  prarloclemn  6597