Theorem nnawordex 6101

Description: Equivalence for weak ordering of natural numbers. (Contributed by NM, 8-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnawordex	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem nnawordex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6072	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2	1	3adant3 924	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		nnaordex 6100	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B <-> E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) ) )
4		simpr 103	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> ( A +o x ) = B )
5	4	reximi 2416	. . . . . . 7 |- ( E. x e. om ( (/) e. x /\ ( A +o x ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
6	3, 5	syl6bi 152	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
7	6	3adant3 924	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A e. B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
8		nna0 6053	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( A +o (/) ) = A )
9	8	3ad2ant1 925	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A +o (/) ) = A )
10		eqeq2 2049	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( ( A +o (/) ) = A <-> ( A +o (/) ) = B ) )
11	9, 10	syl5ibcom 144	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> ( A +o (/) ) = B ) )
12		peano1 4317	. . . . . . 7 |- (/) e. om
13		oveq2 5520	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A +o x ) = ( A +o (/) ) )
14	13	eqeq1d 2048	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( ( A +o x ) = B <-> ( A +o (/) ) = B ) )
15	14	rspcev 2656	. . . . . . 7 |- ( ( (/) e. om /\ ( A +o (/) ) = B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
16	12, 15	mpan 400	. . . . . 6 |- ( ( A +o (/) ) = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
17	11, 16	syl6 29	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( A = B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
18		nntri1 6074	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )
19	18	biimp3a 1235	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> -. B e. A )
20	19	pm2.21d 549	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( B e. A -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
21	7, 17, 20	3jaod 1199	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
22	2, 21	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ A C_ B ) -> E. x e. om ( A +o x ) = B )
23	22	3expia 1106	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B -> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )
24		nnaword1 6086	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
25		sseq2 2967	. . . . 5 |- ( ( A +o x ) = B -> ( A C_ ( A +o x ) <-> A C_ B ) )
26	24, 25	syl5ibcom 144	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
27	26	rexlimdva 2433	. . 3 |- ( A e. om -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
28	27	adantr 261	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( E. x e. om ( A +o x ) = B -> A C_ B ) )
29	23, 28	impbid 120	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> E. x e. om ( A +o x ) = B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   \/ w3o 884   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   C_ wss 2917   (/)c0 3224   omcom 4313  (class class class)co 5512   +o coa 5998

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005

This theorem is referenced by:  prarloclemn  6597