Theorem limom 4336

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4329	. 2 |- Ord om
2		peano1 4317	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4225	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2563	. . . . . . 7 |- E. z z = suc x
6		peano2 4318	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> suc x e. om )
7	3	sucid 4154	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 295	. . . . . . . 8 |- ( x e. om -> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) )
9		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( x e. z <-> x e. suc x ) )
10		eleq1 2100	. . . . . . . . 9 |- ( z = suc x -> ( z e. om <-> suc x e. om ) )
11	9, 10	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- ( z = suc x -> ( ( x e. z /\ z e. om ) <-> ( x e. suc x /\ suc x e. om ) ) )
12	8, 11	syl5ibr 145	. . . . . . 7 |- ( z = suc x -> ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) ) )
13	5, 12	eximii 1493	. . . . . 6 |- E. z ( x e. om -> ( x e. z /\ z e. om ) )
14	13	19.37aiv 1565	. . . . 5 |- ( x e. om -> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
15		eluni 3583	. . . . 5 |- ( x e. U. om <-> E. z ( x e. z /\ z e. om ) )
16	14, 15	sylibr 137	. . . 4 |- ( x e. om -> x e. U. om )
17	16	ssriv 2949	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4162	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om )
19	1, 18	ax-mp 7	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 2961	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4107	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om ) )
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1086	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   C_ wss 2917   (/)c0 3224   U.cuni 3580   Ord word 4099   Lim wlim 4101   suc csuc 4102   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855  df-iord 4103  df-ilim 4106  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by: (None)