Theorem limom 4279

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4272	. 2 |- Ord om
2		peano1 4260	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2554	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4191	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2557	. . . . . . 7 |- E.z z = suc x
6		peano2 4261	. . . . . . . . 9 |- (x e. om -> suc x e. om)
7	3	sucid 4120	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 295	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> (x e. suc x /\ suc x e. om))
9		eleq2 2098	. . . . . . . . 9 |- (z = suc x -> (x e. z <-> x e. suc x))
10		eleq1 2097	. . . . . . . . 9 |- (z = suc x -> (z e. om <-> suc x e. om))
11	9, 10	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- (z = suc x -> ((x e. z /\ z e. om) <-> (x e. suc x /\ suc x e. om)))
12	8, 11	syl5ibr 145	. . . . . . 7 |- (z = suc x -> (x e. om -> (x e. z /\ z e. om)))
13	5, 12	eximii 1490	. . . . . 6 |- E.z(x e. om -> (x e. z /\ z e. om))
14	13	19.37aiv 1562	. . . . 5 |- (x e. om -> E.z(x e. z /\ z e. om))
15		eluni 3574	. . . . 5 |- (x e. U. om <-> E.z(x e. z /\ z e. om))
16	14, 15	sylibr 137	. . . 4 |- (x e. om -> x e. U. om)
17	16	ssriv 2943	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4128	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om)
19	1, 18	ax-mp 7	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 2955	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4073	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om))
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1085	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   C_ wss 2911   (/)c0 3218   U.cuni 3571   Ord word 4065   Lim wlim 4067   suc csuc 4068   omcom 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-tr 3846  df-iord 4069  df-ilim 4072  df-suc 4074  df-iom 4257

This theorem is referenced by: (None)