Theorem limom 4251

Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
limom	|- Lim om

Proof of Theorem limom

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordom 4244	. 2 |- Ord om
2		peano1 4232	. 2 |- (/) e. om
3		vex 2529	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4	3	sucex 4163	. . . . . . . 8 |- suc x e. _V
5	4	isseti 2532	. . . . . . 7 |- E.z z = suc x
6		peano2 4233	. . . . . . . . 9 |- (x e. om -> suc x e. om)
7	3	sucid 4092	. . . . . . . . 9 |- x e. suc x
8	6, 7	jctil 295	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> (x e. suc x /\ suc x e. om))
9		eleq2 2074	. . . . . . . . 9 |- (z = suc x -> (x e. z <-> x e. suc x))
10		eleq1 2073	. . . . . . . . 9 |- (z = suc x -> (z e. om <-> suc x e. om))
11	9, 10	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- (z = suc x -> ((x e. z /\ z e. om) <-> (x e. suc x /\ suc x e. om)))
12	8, 11	syl5ibr 145	. . . . . . 7 |- (z = suc x -> (x e. om -> (x e. z /\ z e. om)))
13	5, 12	eximii 1466	. . . . . 6 |- E.z(x e. om -> (x e. z /\ z e. om))
14	13	19.37aiv 1538	. . . . 5 |- (x e. om -> E.z(x e. z /\ z e. om))
15		eluni 3546	. . . . 5 |- (x e. U. om <-> E.z(x e. z /\ z e. om))
16	14, 15	sylibr 137	. . . 4 |- (x e. om -> x e. U. om)
17	16	ssriv 2917	. . 3 |- om C_ U. om
18		orduniss 4100	. . . 4 |- ( Ord om -> U. om C_ om)
19	1, 18	ax-mp 7	. . 3 |- U. om C_ om
20	17, 19	eqssi 2929	. 2 |- om = U. om
21		dflim2 4045	. 2 |- ( Lim om <-> ( Ord om /\ (/) e. om /\ om = U. om))
22	1, 2, 20, 21	mpbir3an 1068	1 |- Lim om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1223  E.wex 1354   e. wcel 1366   C_ wss 2885   (/)c0 3192   U.cuni 3543   Ord word 4037   Lim wlim 4039   suc csuc 4040   omcom 4228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-iinf 4226

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-v 2528  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-uni 3544  df-int 3579  df-tr 3818  df-iord 4041  df-ilim 4044  df-suc 4046  df-iom 4229

This theorem is referenced by: (None)