ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnregexmid Structured version   Unicode version

Theorem nnregexmid 4285
Description: If inhabited sets of natural numbers always have minimal elements, excluded middle follows. The argument is essentially the same as regexmid 4219 and the larger lesson is that although natural numbers may behave "non-constructively" even in a constructive set theory (for example see nndceq 6015 or nntri3or 6011), sets of natural numbers are a different animal. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
nnregexmid.1  C_  om
Assertion
Ref Expression
nnregexmid
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem nnregexmid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3019 . . . 4  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  { (/) ,  { (/) } }
2 peano1 4260 . . . . 5  (/)  om
3 suc0 4114 . . . . . 6  suc  (/)  { (/)
}
4 peano2 4261 . . . . . . 7  (/)  om  suc  (/)  om
52, 4ax-mp 7 . . . . . 6  suc  (/)  om
63, 5eqeltrri 2108 . . . . 5  { (/) }  om
7 prssi 3513 . . . . 5  (/)  om  { (/)
}  om  { (/) ,  { (/) } }  C_  om
82, 6, 7mp2an 402 . . . 4  { (/) ,  { (/) } }  C_  om
91, 8sstri 2948 . . 3  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om
10 eqid 2037 . . . 4  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
1110regexmidlemm 4217 . . 3  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }
12 pp0ex 3931 . . . . 5  { (/) ,  { (/) } }  _V
1312rabex 3892 . . . 4  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  _V
14 sseq1 2960 . . . . . 6  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om
15 eleq2 2098 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  } 
{  { (/)
,  { (/) } }  |  { (/)
}  (/)  }
1615exbidv 1703 . . . . . 6  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  } 
{  { (/)
,  { (/) } }  |  { (/)
}  (/)  }
1714, 16anbi12d 442 . . . . 5  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
18 eleq2 2098 . . . . . . . . . 10  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  } 
{  { (/)
,  { (/) } }  |  { (/)
}  (/)  }
1918notbid 591 . . . . . . . . 9  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }
2019imbi2d 219 . . . . . . . 8  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
2120albidv 1702 . . . . . . 7  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
2215, 21anbi12d 442 . . . . . 6  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
2322exbidv 1703 . . . . 5  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
2417, 23imbi12d 223 . . . 4  { 
{ (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  C_  om  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
25 nnregexmid.1 . . . 4  C_  om
2613, 24, 25vtocl 2602 . . 3  {  { (/)
,  { (/) } }  |  { (/)
}  (/)  }  C_  om  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
279, 11, 26mp2an 402 . 2  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
2810regexmidlem1 4218 . 2  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }  {  { (/) ,  { (/)
} }  |  { (/) }  (/)  }
2927, 28ax-mp 7 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {crab 2304    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   suc csuc 4068   omcom 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator