Theorem nndceq 6077

Description: Equality of natural numbers is decidable. Theorem 7.2.6 of [HoTT], p. (varies). For the specific case where B is zero, see nndceq0 4339. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nndceq	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Proof of Theorem nndceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri3or 6072	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
2		elirr 4266	. . . . . . 7 |- -. A e. A
3		eleq2 2101	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A e. A <-> A e. B ) )
4	2, 3	mtbii 599	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. A e. B )
5	4	con2i 557	. . . . 5 |- ( A e. B -> -. A = B )
6	5	olcd 653	. . . 4 |- ( A e. B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
7		orc 633	. . . 4 |- ( A = B -> ( A = B \/ -. A = B ) )
8		elirr 4266	. . . . . . 7 |- -. B e. B
9		eleq2 2101	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( B e. A <-> B e. B ) )
10	8, 9	mtbiri 600	. . . . . 6 |- ( A = B -> -. B e. A )
11	10	con2i 557	. . . . 5 |- ( B e. A -> -. A = B )
12	11	olcd 653	. . . 4 |- ( B e. A -> ( A = B \/ -. A = B ) )
13	6, 7, 12	3jaoi 1198	. . 3 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B \/ -. A = B ) )
15		df-dc 743	. 2 |- (DECID A = B <-> ( A = B \/ -. A = B ) )
16	14, 15	sylibr 137	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629  DECID wdc 742   \/ w3o 884   = wceq 1243   e. wcel 1393   omcom 4313

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314

This theorem is referenced by:  nndifsnid  6080  fidceq  6330  enqdc  6459