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Theorem regexmidlem1 4218
Description: Lemma for regexmid 4219. If has a minimal element, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
regexmidlemm.a  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/)
}  (/)  }
Assertion
Ref Expression
regexmidlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem regexmidlem1
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2043 . . . . . . 7  { (/) }  { (/) }
2 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  (/)  (/)
32anbi1d 438 . . . . . . 7  (/)  (/)
41, 3orbi12d 706 . . . . . 6  { (/)
}  (/)  { (/)
}  (/)
5 regexmidlemm.a . . . . . 6  {  { (/) ,  { (/) } }  |  { (/)
}  (/)  }
64, 5elrab2 2694 . . . . 5  { (/) ,  { (/)
} }  { (/) }  (/)
76simprbi 260 . . . 4  { (/) }  (/)
8 0ex 3875 . . . . . . . . 9  (/)  _V
98snid 3394 . . . . . . . 8  (/)  { (/)
}
10 eleq2 2098 . . . . . . . 8  { (/) }  (/)  (/)  { (/)
}
119, 10mpbiri 157 . . . . . . 7  { (/) }  (/)
12 eleq1 2097 . . . . . . . . 9  (/)  (/)
13 eleq1 2097 . . . . . . . . . 10  (/)  (/)
1413notbid 591 . . . . . . . . 9  (/)  (/)
1512, 14imbi12d 223 . . . . . . . 8  (/)  (/)  (/)
168, 15spcv 2640 . . . . . . 7  (/)  (/)
1711, 16syl5com 26 . . . . . 6  { (/) }  (/)
188prid1 3467 . . . . . . . . . 10  (/)  { (/)
,  { (/) } }
19 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . 12  (/)  { (/) }  (/)  { (/)
}
20 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . 13  (/)  (/)  (/)  (/)
2120anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  (/)  (/)  (/)  (/)
2219, 21orbi12d 706 . . . . . . . . . . 11  (/)  { (/)
}  (/)  (/)  { (/)
}  (/)  (/)
2322, 5elrab2 2694 . . . . . . . . . 10  (/)  (/)  { (/)
,  { (/) } }  (/)  { (/)
}  (/)  (/)
2418, 23mpbiran 846 . . . . . . . . 9  (/)  (/)  { (/)
}  (/)  (/)
25 pm2.46 657 . . . . . . . . 9  (/)  { (/)
}  (/)  (/)  (/)  (/)
2624, 25sylnbi 602 . . . . . . . 8  (/)  (/)  (/)
27 eqid 2037 . . . . . . . . 9  (/)  (/)
2827biantrur 287 . . . . . . . 8  (/)  (/)
2926, 28sylnibr 601 . . . . . . 7  (/)
3029olcd 652 . . . . . 6  (/)
3117, 30syl6 29 . . . . 5  { (/) }
32 orc 632 . . . . . . 7
3332adantl 262 . . . . . 6  (/)
3433a1d 22 . . . . 5  (/)
3531, 34jaoi 635 . . . 4  { (/) }  (/)
367, 35syl 14 . . 3
3736imp 115 . 2
3837exlimiv 1486 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wo 628  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {crab 2304   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374
This theorem is referenced by:  regexmid  4219  nnregexmid  4285
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