ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand Unicode version

Theorem frec2uzrand 9191
Description: Range of  G (see frec2uz0d 9185). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 zex 8254 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  e.  _V
32mptex 5387 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
4 vex 2560 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
53, 4fvex 5195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
65ax-gen 1338 . . . . . . . 8  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
7 frecfnom 5986 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  C  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
86, 7mpan 400 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
109fneq1i 4993 . . . . . . 7  |-  ( G  Fn  om  <-> frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  Fn  om )
118, 10sylibr 137 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  G  Fn  om )
12 fvelrnb 5221 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  om  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  <->  E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y ) )
14 simpl 102 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  C  e.  ZZ )
15 simpr 103 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  z  e.  om )
1614, 9, 15frec2uzuzd 9188 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
17 eleq1 2100 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1816, 17syl5ibcom 144 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
1918rexlimdva 2433 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
2013, 19sylbid 139 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  ->  y  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
21 eleq1 2100 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w  e.  ran  G  <->  C  e.  ran  G ) )
22 eleq1 2100 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  ran  G  <->  y  e.  ran  G ) )
23 eleq1 2100 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
w  e.  ran  G  <->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
24 id 19 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ZZ )
2524, 9frec2uz0d 9185 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( G `  (/) )  =  C )
26 peano1 4317 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
27 fnfvelrn 5299 . . . . . . 7  |-  ( ( G  Fn  om  /\  (/) 
e.  om )  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
2811, 26, 27sylancl 392 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( G `  (/) )  e. 
ran  G )
2925, 28eqeltrrd 2115 . . . . 5  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ran  G )
30 eluzel2 8478 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  C  e.  ZZ )
3114, 9, 15frec2uzsucd 9187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z
)  +  1 ) )
32 oveq1 5519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G `  z )  =  y  ->  (
( G `  z
)  +  1 )  =  ( y  +  1 ) )
3331, 32sylan9eq 2092 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( y  +  1 ) )
34 peano2 4318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  om  ->  suc  z  e.  om )
35 fnfvelrn 5299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  Fn  om  /\  suc  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3611, 34, 35syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3736adantr 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ran  G )
3833, 37eqeltrrd 2115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  /\  ( G `  z
)  =  y )  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G )
3938ex 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  z )  =  y  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4039rexlimdva 2433 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( E. z  e.  om  ( G `  z )  =  y  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4113, 40sylbid 139 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  ->  ( y  +  1 )  e.  ran  G
) )
4230, 41syl 14 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( y  e.  ran  G  ->  (
y  +  1 )  e.  ran  G ) )
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 8531 . . . 4  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  y  e.  ran  G )
4420, 43impbid1 130 . . 3  |-  ( C  e.  ZZ  ->  (
y  e.  ran  G  <->  y  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
4544eqrdv 2038 . 2  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
) )
461, 45syl 14 1  |-  ( ph  ->  ran  G  =  (
ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98   A.wal 1241    = wceq 1243    e. wcel 1393   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   (/)c0 3224    |-> cmpt 3818   suc csuc 4102   omcom 4313   ran crn 4346    Fn wfn 4897   ` cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977   1c1 6890    + caddc 6892   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  9192
  Copyright terms: Public domain W3C validator