ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand Structured version   Unicode version

Theorem frec2uzrand 8852
Description: Range of  G (see frec2uz0d 8846). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand  ran  G 
ZZ>= `  C
Distinct variable groups:   , C   ,
Allowed substitution hint:    G()

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2  C  ZZ
2 zex 8010 . . . . . . . . . . 11  ZZ  _V
32mptex 5330 . . . . . . . . . 10  ZZ  |->  +  1  _V
4 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
53, 4fvex 5138 . . . . . . . . 9  ZZ  |->  +  1 `  _V
65ax-gen 1335 . . . . . . . 8  ZZ  |->  +  1 `  _V
7 frecfnom 5925 . . . . . . . 8  ZZ  |->  +  1 `

_V  C  ZZ frec  ZZ  |->  +  1 ,  C  Fn  om
86, 7mpan 400 . . . . . . 7  C  ZZ frec  ZZ  |->  +  1 ,  C  Fn  om
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
109fneq1i 4936 . . . . . . 7  G  Fn  om frec  ZZ  |->  +  1 ,  C  Fn 
om
118, 10sylibr 137 . . . . . 6  C  ZZ  G  Fn  om
12 fvelrnb 5164 . . . . . 6  G  Fn  om  ran  G  om  G `
1311, 12syl 14 . . . . 5  C  ZZ  ran  G  om  G `
14 simpl 102 . . . . . . . 8  C  ZZ  om  C  ZZ
15 simpr 103 . . . . . . . 8  C  ZZ  om  om
1614, 9, 15frec2uzuzd 8849 . . . . . . 7  C  ZZ  om  G `  ZZ>= `  C
17 eleq1 2097 . . . . . . 7  G `  G `  ZZ>= `  C  ZZ>= `  C
1816, 17syl5ibcom 144 . . . . . 6  C  ZZ  om  G `  ZZ>= `  C
1918rexlimdva 2427 . . . . 5  C  ZZ  om  G `  ZZ>= `  C
2013, 19sylbid 139 . . . 4  C  ZZ  ran  G  ZZ>= `  C
21 eleq1 2097 . . . . 5  C  ran  G  C 
ran  G
22 eleq1 2097 . . . . 5  ran  G 
ran  G
23 eleq1 2097 . . . . 5  + 
1  ran  G  +  1 
ran  G
24 id 19 . . . . . . 7  C  ZZ  C  ZZ
2524, 9frec2uz0d 8846 . . . . . 6  C  ZZ  G `  (/)  C
26 peano1 4260 . . . . . . 7  (/)  om
27 fnfvelrn 5242 . . . . . . 7  G  Fn  om  (/)  om  G `  (/) 
ran  G
2811, 26, 27sylancl 392 . . . . . 6  C  ZZ  G `  (/) 
ran  G
2925, 28eqeltrrd 2112 . . . . 5  C  ZZ  C  ran  G
30 eluzel2 8234 . . . . . 6  ZZ>= `  C  C  ZZ
3114, 9, 15frec2uzsucd 8848 . . . . . . . . . . 11  C  ZZ  om  G `  suc  G `  +  1
32 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11  G `  G `  +  1  +  1
3331, 32sylan9eq 2089 . . . . . . . . . 10  C  ZZ  om  G `  G `  suc  +  1
34 peano2 4261 . . . . . . . . . . . 12  om  suc  om
35 fnfvelrn 5242 . . . . . . . . . . . 12  G  Fn  om  suc  om  G `  suc  ran  G
3611, 34, 35syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  C  ZZ  om  G `  suc  ran  G
3736adantr 261 . . . . . . . . . 10  C  ZZ  om  G `  G `  suc  ran  G
3833, 37eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9  C  ZZ  om  G `  +  1  ran  G
3938ex 108 . . . . . . . 8  C  ZZ  om  G `  +  1  ran  G
4039rexlimdva 2427 . . . . . . 7  C  ZZ  om  G `  +  1  ran  G
4113, 40sylbid 139 . . . . . 6  C  ZZ  ran  G  +  1  ran  G
4230, 41syl 14 . . . . 5  ZZ>= `  C 
ran  G  +  1  ran  G
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 8287 . . . 4  ZZ>= `  C  ran  G
4420, 43impbid1 130 . . 3  C  ZZ  ran  G  ZZ>= `  C
4544eqrdv 2035 . 2  C  ZZ  ran  G  ZZ>= `  C
461, 45syl 14 1  ran  G 
ZZ>= `  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   _Vcvv 2551   (/)c0 3218    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256   ran crn 4289    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  8853
  Copyright terms: Public domain W3C validator