ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzf1od Structured version   Unicode version

Theorem frec2uzf1od 8853
Description:  G (see frec2uz0d 8846) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
Assertion
Ref Expression
frec2uzf1od  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C
Distinct variable groups:   , C   ,
Allowed substitution hint:    G()

Proof of Theorem frec2uzf1od
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 8010 . . . . . . . . 9  ZZ  _V
21mptex 5330 . . . . . . . 8  ZZ  |->  +  1  _V
3 vex 2554 . . . . . . . 8 
_V
42, 3fvex 5138 . . . . . . 7  ZZ  |->  +  1 `  _V
54ax-gen 1335 . . . . . 6  ZZ  |->  +  1 `  _V
6 frec2uz.1 . . . . . 6  C  ZZ
7 frecfnom 5925 . . . . . 6  ZZ  |->  +  1 `

_V  C  ZZ frec  ZZ  |->  +  1 ,  C  Fn  om
85, 6, 7sylancr 393 . . . . 5 frec  ZZ  |->  + 
1 ,  C  Fn  om
9 frec2uz.2 . . . . . 6  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
109fneq1i 4936 . . . . 5  G  Fn  om frec  ZZ  |->  +  1 ,  C  Fn 
om
118, 10sylibr 137 . . . 4  G  Fn  om
126, 9frec2uzrand 8852 . . . . 5  ran  G 
ZZ>= `  C
13 eqimss 2991 . . . . 5  ran 
G  ZZ>= `  C  ran  G  C_  ZZ>= `  C
1412, 13syl 14 . . . 4  ran  G  C_  ZZ>=
`  C
15 df-f 4849 . . . 4  G : om --> ZZ>= `  C  G  Fn  om  ran  G  C_  ZZ>= `  C
1611, 14, 15sylanbrc 394 . . 3  G : om --> ZZ>= `  C
176adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  om  C  ZZ
18 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14  om  om
1917, 9, 18frec2uzzd 8847 . . . . . . . . . . . . 13  om  G `  ZZ
20193adant3 923 . . . . . . . . . . . 12  om  om  G `  ZZ
2120zred 8116 . . . . . . . . . . 11  om  om  G `  RR
2221ltnrd 6906 . . . . . . . . . 10  om  om  G `  <  G `
2322adantr 261 . . . . . . . . 9  om 
om  G `  G `  G `  <  G `
24 simpr 103 . . . . . . . . . 10  om 
om  G `  G `  G `  G `
2524breq2d 3767 . . . . . . . . 9  om 
om  G `  G `  G `  <  G `  G `  <  G `
2623, 25mtbid 596 . . . . . . . 8  om 
om  G `  G `  G `  <  G `
27173adant3 923 . . . . . . . . . . 11  om  om  C  ZZ
28 simp2 904 . . . . . . . . . . 11  om  om  om
29 simp3 905 . . . . . . . . . . 11  om  om  om
3027, 9, 28, 29frec2uzltd 8850 . . . . . . . . . 10  om  om  G `  <  G `
3130con3d 560 . . . . . . . . 9  om  om  G `
 <  G `
3231adantr 261 . . . . . . . 8  om 
om  G `  G `  G `  <  G `
3326, 32mpd 13 . . . . . . 7  om 
om  G `  G `
3424breq1d 3765 . . . . . . . . 9  om 
om  G `  G `  G `  <  G `  G `  <  G `
3523, 34mtbid 596 . . . . . . . 8  om 
om  G `  G `  G `  <  G `
3627, 9, 29, 28frec2uzltd 8850 . . . . . . . . 9  om  om  G `  <  G `
3736adantr 261 . . . . . . . 8  om 
om  G `  G `  G `  <  G `
3835, 37mtod 588 . . . . . . 7  om 
om  G `  G `
39 nntri3 6014 . . . . . . . . 9  om  om
40393adant1 921 . . . . . . . 8  om  om
4140adantr 261 . . . . . . 7  om 
om  G `  G `
4233, 38, 41mpbir2and 850 . . . . . 6  om 
om  G `  G `
4342ex 108 . . . . 5  om  om  G `  G `
44433expb 1104 . . . 4 
om  om  G `  G `
4544ralrimivva 2395 . . 3  om  om  G `  G `
46 dff13 5350 . . 3  G : om -1-1-> ZZ>= `  C  G : om --> ZZ>= `  C 
om  om  G `  G `
4716, 45, 46sylanbrc 394 . 2  G : om -1-1->
ZZ>= `  C
48 dff1o5 5078 . 2  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  G : om -1-1->
ZZ>= `  C  ran  G  ZZ>= `  C
4947, 12, 48sylanbrc 394 1  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809   omcom 4256   ran crn 4289    Fn wfn 4840   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694    < clt 6837   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  8854  frecuzrdglem  8858  frecuzrdgfn  8859  frecuzrdgcl  8860  frecuzrdgsuc  8862  uzenom  8863  frecfzennn  8864  frechashgf1o  8866
  Copyright terms: Public domain W3C validator