Theorem frec2uzf1od 9166

Description: 𝐺 (see frec2uz0d 9159) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 8252	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 5387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
3		vex 2560	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
4	2, 3	fvex 5195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
5	4	ax-gen 1338	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
7		frecfnom 5986	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
8	5, 6, 7	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
9		frec2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 4993	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn ω ↔ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) Fn ω)
11	8, 10	sylibr 137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ω)
12	6, 9	frec2uzrand 9165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
13		eqimss 2997	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
15		df-f 4906	. . . 4 ⊢ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶))
17	6	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
19	17, 9, 18	frec2uzzd 9160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℤ)
21	20	zred 8358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝐺‘𝑦) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 7127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
23	22	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦))
24		simpr 103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧))
25	24	breq2d 3776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
26	23, 25	mtbid 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧))
27	17	3adant3 924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝐶 ∈ ℤ)
28		simp2 905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑦 ∈ ω)
29		simp3 906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 𝑧 ∈ ω)
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 9163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 ∈ 𝑧 → (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧)))
31	30	con3d 561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
32	31	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (¬ (𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑧) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑧)
34	24	breq1d 3774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ((𝐺‘𝑦) < (𝐺‘𝑦) ↔ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
35	23, 34	mtbid 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦))
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 9163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
37	36	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝑦 → (𝐺‘𝑧) < (𝐺‘𝑦)))
38	35, 37	mtod 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)
39		nntri3 6075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
40	39	3adant1 922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
41	40	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → (𝑦 = 𝑧 ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ ¬ 𝑧 ∈ 𝑦)))
42	33, 38, 41	mpbir2and 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
43	42	ex 108	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
44	43	3expb 1105	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
45	44	ralrimivva 2401	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
46		dff13 5407	. . 3 ⊢ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀𝑦 ∈ ω ∀𝑧 ∈ ω ((𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
47	16, 45, 46	sylanbrc 394	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
48		dff1o5 5135	. 2 ⊢ (𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:ω–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
49	47, 12, 48	sylanbrc 394	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  ωcom 4313  ran crn 4346   Fn wfn 4897  ⟶wf 4898  –1-1→wf1 4899  –1-1-onto→wf1o 4901  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977  1c1 6888   + caddc 6890   < clt 7058  ℤcz 8243  ℤ_≥cuz 8471

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9167  frecuzrdglem  9171  frecuzrdgfn  9172  frecuzrdgcl  9173  frecuzrdgsuc  9175  uzenom  9176  frecfzennn  9177  frechashgf1o  9179