Theorem frec2uzf1od 8873

Description: 𝐺 (see frec2uz0d 8866) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (φ → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzf1od	⊢ (φ → 𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   x,𝐶   φ,x

Allowed substitution hint:   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzf1od

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 8030	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 5330	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℤ ↦ (x + 1)) ∈ V
3		vex 2554	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
4	2, 3	fvex 5138	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ ℤ ↦ (x + 1))‘z) ∈ V
5	4	ax-gen 1335	. . . . . 6 ⊢ ∀z((x ∈ ℤ ↦ (x + 1))‘z) ∈ V
6		frec2uz.1	. . . . . 6 ⊢ (φ → 𝐶 ∈ ℤ)
7		frecfnom 5925	. . . . . 6 ⊢ ((∀z((x ∈ ℤ ↦ (x + 1))‘z) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
8	5, 6, 7	sylancr 393	. . . . 5 ⊢ (φ → frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
9		frec2uz.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 4936	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn 𝜔 ↔ frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
11	8, 10	sylibr 137	. . . 4 ⊢ (φ → 𝐺 Fn 𝜔)
12	6, 9	frec2uzrand 8872	. . . . 5 ⊢ (φ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
13		eqimss 2991	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
14	12, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (φ → ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶))
15		df-f 4849	. . . 4 ⊢ (𝐺:𝜔⟶(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺 Fn 𝜔 ∧ ran 𝐺 ⊆ (ℤ≥‘𝐶)))
16	11, 14, 15	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ (φ → 𝐺:𝜔⟶(ℤ≥‘𝐶))
17	6	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔) → 𝐶 ∈ ℤ)
18		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔) → y ∈ 𝜔)
19	17, 9, 18	frec2uzzd 8867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔) → (𝐺‘y) ∈ ℤ)
20	19	3adant3 923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (𝐺‘y) ∈ ℤ)
21	20	zred 8136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (𝐺‘y) ∈ ℝ)
22	21	ltnrd 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → ¬ (𝐺‘y) < (𝐺‘y))
23	22	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ¬ (𝐺‘y) < (𝐺‘y))
24		simpr 103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → (𝐺‘y) = (𝐺‘z))
25	24	breq2d 3767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ((𝐺‘y) < (𝐺‘y) ↔ (𝐺‘y) < (𝐺‘z)))
26	23, 25	mtbid 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ¬ (𝐺‘y) < (𝐺‘z))
27	17	3adant3 923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → 𝐶 ∈ ℤ)
28		simp2 904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → y ∈ 𝜔)
29		simp3 905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → z ∈ 𝜔)
30	27, 9, 28, 29	frec2uzltd 8870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (y ∈ z → (𝐺‘y) < (𝐺‘z)))
31	30	con3d 560	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (¬ (𝐺‘y) < (𝐺‘z) → ¬ y ∈ z))
32	31	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → (¬ (𝐺‘y) < (𝐺‘z) → ¬ y ∈ z))
33	26, 32	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ¬ y ∈ z)
34	24	breq1d 3765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ((𝐺‘y) < (𝐺‘y) ↔ (𝐺‘z) < (𝐺‘y)))
35	23, 34	mtbid 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ¬ (𝐺‘z) < (𝐺‘y))
36	27, 9, 29, 28	frec2uzltd 8870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (z ∈ y → (𝐺‘z) < (𝐺‘y)))
37	36	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → (z ∈ y → (𝐺‘z) < (𝐺‘y)))
38	35, 37	mtod 588	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → ¬ z ∈ y)
39		nntri3 6014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (y = z ↔ (¬ y ∈ z ∧ ¬ z ∈ y)))
40	39	3adant1 921	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → (y = z ↔ (¬ y ∈ z ∧ ¬ z ∈ y)))
41	40	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → (y = z ↔ (¬ y ∈ z ∧ ¬ z ∈ y)))
42	33, 38, 41	mpbir2and 850	. . . . . 6 ⊢ (((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘y) = (𝐺‘z)) → y = z)
43	42	ex 108	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔) → ((𝐺‘y) = (𝐺‘z) → y = z))
44	43	3expb 1104	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ (y ∈ 𝜔 ∧ z ∈ 𝜔)) → ((𝐺‘y) = (𝐺‘z) → y = z))
45	44	ralrimivva 2395	. . 3 ⊢ (φ → ∀y ∈ 𝜔 ∀z ∈ 𝜔 ((𝐺‘y) = (𝐺‘z) → y = z))
46		dff13 5350	. . 3 ⊢ (𝐺:𝜔–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:𝜔⟶(ℤ≥‘𝐶) ∧ ∀y ∈ 𝜔 ∀z ∈ 𝜔 ((𝐺‘y) = (𝐺‘z) → y = z)))
47	16, 45, 46	sylanbrc 394	. 2 ⊢ (φ → 𝐺:𝜔–1-1→(ℤ≥‘𝐶))
48		dff1o5 5078	. 2 ⊢ (𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶) ↔ (𝐺:𝜔–1-1→(ℤ≥‘𝐶) ∧ ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶)))
49	47, 12, 48	sylanbrc 394	1 ⊢ (φ → 𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911   class class class wbr 3755   ↦ cmpt 3809  𝜔com 4256  ran crn 4289   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841  –1-1→wf1 4842  –1-1-onto→wf1o 4844  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250

This theorem is referenced by:  frec2uzisod  8874  frecuzrdglem  8878  frecuzrdgfn  8879  frecuzrdgcl  8880  frecuzrdgsuc  8882  uzenom  8883  frecfzennn  8884  frechashgf1o  8886