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Theorem frec2uzf1od 8873
Description: 𝐺 (see frec2uz0d 8866) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzf1od (φ𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   x,𝐶   φ,x
Allowed substitution hint:   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzf1od
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 8030 . . . . . . . . 9 V
21mptex 5330 . . . . . . . 8 (x ℤ ↦ (x + 1)) V
3 vex 2554 . . . . . . . 8 z V
42, 3fvex 5138 . . . . . . 7 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
54ax-gen 1335 . . . . . 6 z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
6 frec2uz.1 . . . . . 6 (φ𝐶 ℤ)
7 frecfnom 5925 . . . . . 6 ((z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V 𝐶 ℤ) → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
85, 6, 7sylancr 393 . . . . 5 (φ → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
9 frec2uz.2 . . . . . 6 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
109fneq1i 4936 . . . . 5 (𝐺 Fn 𝜔 ↔ frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
118, 10sylibr 137 . . . 4 (φ𝐺 Fn 𝜔)
126, 9frec2uzrand 8872 . . . . 5 (φ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
13 eqimss 2991 . . . . 5 (ran 𝐺 = (ℤ𝐶) → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
1412, 13syl 14 . . . 4 (φ → ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶))
15 df-f 4849 . . . 4 (𝐺:𝜔⟶(ℤ𝐶) ↔ (𝐺 Fn 𝜔 ran 𝐺 ⊆ (ℤ𝐶)))
1611, 14, 15sylanbrc 394 . . 3 (φ𝐺:𝜔⟶(ℤ𝐶))
176adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ y 𝜔) → 𝐶 ℤ)
18 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ y 𝜔) → y 𝜔)
1917, 9, 18frec2uzzd 8867 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ y 𝜔) → (𝐺y) ℤ)
20193adant3 923 . . . . . . . . . . . 12 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → (𝐺y) ℤ)
2120zred 8136 . . . . . . . . . . 11 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → (𝐺y) ℝ)
2221ltnrd 6926 . . . . . . . . . 10 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → ¬ (𝐺y) < (𝐺y))
2322adantr 261 . . . . . . . . 9 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ¬ (𝐺y) < (𝐺y))
24 simpr 103 . . . . . . . . . 10 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → (𝐺y) = (𝐺z))
2524breq2d 3767 . . . . . . . . 9 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ((𝐺y) < (𝐺y) ↔ (𝐺y) < (𝐺z)))
2623, 25mtbid 596 . . . . . . . 8 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ¬ (𝐺y) < (𝐺z))
27173adant3 923 . . . . . . . . . . 11 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → 𝐶 ℤ)
28 simp2 904 . . . . . . . . . . 11 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → y 𝜔)
29 simp3 905 . . . . . . . . . . 11 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → z 𝜔)
3027, 9, 28, 29frec2uzltd 8870 . . . . . . . . . 10 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → (y z → (𝐺y) < (𝐺z)))
3130con3d 560 . . . . . . . . 9 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → (¬ (𝐺y) < (𝐺z) → ¬ y z))
3231adantr 261 . . . . . . . 8 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → (¬ (𝐺y) < (𝐺z) → ¬ y z))
3326, 32mpd 13 . . . . . . 7 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ¬ y z)
3424breq1d 3765 . . . . . . . . 9 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ((𝐺y) < (𝐺y) ↔ (𝐺z) < (𝐺y)))
3523, 34mtbid 596 . . . . . . . 8 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ¬ (𝐺z) < (𝐺y))
3627, 9, 29, 28frec2uzltd 8870 . . . . . . . . 9 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → (z y → (𝐺z) < (𝐺y)))
3736adantr 261 . . . . . . . 8 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → (z y → (𝐺z) < (𝐺y)))
3835, 37mtod 588 . . . . . . 7 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → ¬ z y)
39 nntri3 6014 . . . . . . . . 9 ((y 𝜔 z 𝜔) → (y = z ↔ (¬ y z ¬ z y)))
40393adant1 921 . . . . . . . 8 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → (y = z ↔ (¬ y z ¬ z y)))
4140adantr 261 . . . . . . 7 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → (y = z ↔ (¬ y z ¬ z y)))
4233, 38, 41mpbir2and 850 . . . . . 6 (((φ y 𝜔 z 𝜔) (𝐺y) = (𝐺z)) → y = z)
4342ex 108 . . . . 5 ((φ y 𝜔 z 𝜔) → ((𝐺y) = (𝐺z) → y = z))
44433expb 1104 . . . 4 ((φ (y 𝜔 z 𝜔)) → ((𝐺y) = (𝐺z) → y = z))
4544ralrimivva 2395 . . 3 (φy 𝜔 z 𝜔 ((𝐺y) = (𝐺z) → y = z))
46 dff13 5350 . . 3 (𝐺:𝜔–1-1→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:𝜔⟶(ℤ𝐶) y 𝜔 z 𝜔 ((𝐺y) = (𝐺z) → y = z)))
4716, 45, 46sylanbrc 394 . 2 (φ𝐺:𝜔–1-1→(ℤ𝐶))
48 dff1o5 5078 . 2 (𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶) ↔ (𝐺:𝜔–1-1→(ℤ𝐶) ran 𝐺 = (ℤ𝐶)))
4947, 12, 48sylanbrc 394 1 (φ𝐺:𝜔–1-1-onto→(ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   w3a 884  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  Vcvv 2551  wss 2911   class class class wbr 3755  cmpt 3809  𝜔com 4256  ran crn 4289   Fn wfn 4840  wf 4841  1-1wf1 4842  1-1-ontowf1o 4844  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714   < clt 6857  cz 8021  cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  8874  frecuzrdglem  8878  frecuzrdgfn  8879  frecuzrdgcl  8880  frecuzrdgsuc  8882  uzenom  8883  frecfzennn  8884  frechashgf1o  8886
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