ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgfn Structured version   Unicode version

Theorem frecuzrdgfn 8859
Description: The recursive definition generator on upper integers is a function. See comment in frec2uz0d 8846 for the description of  G as the mapping from  om to  ZZ>= `  C. (Contributed by Jim Kingdon, 26-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
uzrdg.s  S  V
uzrdg.a  S
uzrdg.f  ZZ>= `  C  S  F  S
uzrdg.2  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
frecuzrdgfn.3  T  ran  R
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgfn  T  Fn  ZZ>= `  C
Distinct variable groups:   ,   , C,   , G   , F,   , S,   ,,
Allowed substitution hints:   ()    R(,)    T(,)    G()    V(,)

Proof of Theorem frecuzrdgfn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frecuzrdgfn.3 . . . . . . . . 9  T  ran  R
21eleq2d 2104 . . . . . . . 8  T  ran  R
3 frec2uz.1 . . . . . . . . . 10  C  ZZ
4 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
5 uzrdg.s . . . . . . . . . 10  S  V
6 uzrdg.a . . . . . . . . . 10  S
7 uzrdg.f . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  C  S  F  S
8 uzrdg.2 . . . . . . . . . 10  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
93, 4, 5, 6, 7, 8frecuzrdgrom 8857 . . . . . . . . 9  R  Fn  om
10 fvelrnb 5164 . . . . . . . . 9  R  Fn  om  ran  R  om  R `
119, 10syl 14 . . . . . . . 8  ran  R  om  R `
122, 11bitrd 177 . . . . . . 7  T  om  R `
133, 4, 5, 6, 7, 8frecuzrdgrrn 8855 . . . . . . . . 9  om  R `  ZZ>= `  C  X.  S
14 eleq1 2097 . . . . . . . . 9  R `  R `  ZZ>= `  C  X.  S 
ZZ>= `  C  X.  S
1513, 14syl5ibcom 144 . . . . . . . 8  om  R `
 ZZ>= `  C  X.  S
1615rexlimdva 2427 . . . . . . 7 
om  R ` 
ZZ>= `  C  X.  S
1712, 16sylbid 139 . . . . . 6  T 
ZZ>= `  C  X.  S
1817ssrdv 2945 . . . . 5  T  C_  ZZ>=
`  C  X.  S
19 xpss 4389 . . . . 5 
ZZ>= `  C  X.  S  C_  _V 
X.  _V
2018, 19syl6ss 2951 . . . 4  T  C_  _V  X.  _V
21 df-rel 4295 . . . 4  Rel 
T  T  C_  _V  X.  _V
2220, 21sylibr 137 . . 3  Rel  T
233, 4frec2uzf1od 8853 . . . . . . . . . 10  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C
24 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . . 10  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  ZZ>=
`  C  `' G `  om
2523, 24sylan 267 . . . . . . . . 9 
ZZ>= `  C  `' G `  om
263, 4, 5, 6, 7, 8frecuzrdgrrn 8855 . . . . . . . . 9  `' G `  om  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S
2725, 26syldan 266 . . . . . . . 8 
ZZ>= `  C  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S
28 xp2nd 5735 . . . . . . . 8  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S  2nd `  R `  `' G `  S
2927, 28syl 14 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  `' G `  S
301eleq2d 2104 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  T  <. ,  >.  ran  R
31 fvelrnb 5164 . . . . . . . . . . . 12  R  Fn  om  <. ,  >. 
ran  R  om  R `  <. ,  >.
329, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11  <. , 
>.  ran  R  om  R `  <. ,  >.
3330, 32bitrd 177 . . . . . . . . . 10  <. , 
>.  T  om  R `  <. ,  >.
343adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  om  C  ZZ
355adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  om  S  V
366adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  om  S
377adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  om  ZZ>= `  C  S  F  S
38 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  om  om
3934, 4, 35, 36, 37, 8, 38frec2uzrdg 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  om  R `  <. G `  ,  2nd `  R `  >.
4039eqeq1d 2045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  om  R `

<. ,  >.  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. ,  >.
41 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
_V
42 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
_V
4341, 42opth2 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. ,  >.  G `  2nd `  R `
4443simplbi 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. G `  ,  2nd `  R `  >.  <. ,  >.  G `
4540, 44syl6bi 152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  om  R `

<. ,  >.  G `
46 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  om  G `
 `' G `
4723, 46sylan 267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  om  G `
 `' G `
4845, 47syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  om  R `

<. ,  >.  `' G `
49 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  `' G `  R `  `' G `  R `
5049fveq2d 5125 . . . . . . . . . . . . . . 15  `' G `  2nd `  R `  `' G `  2nd `  R `
5148, 50syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  om  R `

<. ,  >.  2nd `  R `
 `' G `  2nd `  R `
5251imp 115 . . . . . . . . . . . . 13  om  R `  <. , 
>.  2nd `  R `  `' G `  2nd `  R `
5341, 42op2ndd 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  R `  <. , 
>.  2nd `  R `
5453adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  om  R `  <. , 
>.  2nd `  R `
5552, 54eqtr2d 2070 . . . . . . . . . . . 12  om  R `  <. , 
>.  2nd `  R `  `' G `
5655ex 108 . . . . . . . . . . 11  om  R `

<. ,  >.  2nd `  R `  `' G `
5756rexlimdva 2427 . . . . . . . . . 10 
om  R `  <. ,  >.  2nd `  R `  `' G `
5833, 57sylbid 139 . . . . . . . . 9  <. , 
>.  T  2nd `  R `  `' G `
5958alrimiv 1751 . . . . . . . 8  <. ,  >.  T  2nd `  R `  `' G `
6059adantr 261 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  <. ,  >.  T  2nd `  R `  `' G `
61 eqeq2 2046 . . . . . . . . . 10  2nd `  R `  `' G `  2nd `  R `  `' G `
6261imbi2d 219 . . . . . . . . 9  2nd `  R `  `' G `  <. , 
>.  T  <. ,  >.  T  2nd `  R `  `' G `
6362albidv 1702 . . . . . . . 8  2nd `  R `  `' G `  <. ,  >.  T  <. ,  >.  T  2nd `  R `  `' G `
6463spcegv 2635 . . . . . . 7  2nd `  R `
 `' G `  S  <. ,  >.  T  2nd `  R `  `' G ` 
<. ,  >.  T
6529, 60, 64sylc 56 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  <. , 
>.  T
66 nfv 1418 . . . . . . 7  F/ <. ,  >.  T
6766mo2r 1949 . . . . . 6  <. ,  >.  T  <. ,  >.  T
6865, 67syl 14 . . . . 5 
ZZ>= `  C  <. ,  >.  T
69 dmss 4477 . . . . . . . . . 10  T 
C_  ZZ>= `  C  X.  S  dom  T  C_  dom  ZZ>= `  C  X.  S
7018, 69syl 14 . . . . . . . . 9  dom  T  C_  dom  ZZ>= `  C  X.  S
71 dmxpss 4696 . . . . . . . . 9  dom  ZZ>= `  C  X.  S  C_  ZZ>=
`  C
7270, 71syl6ss 2951 . . . . . . . 8  dom  T  C_  ZZ>=
`  C
733adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 
ZZ>= `  C  C  ZZ
745adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 
ZZ>= `  C  S  V
756adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 
ZZ>= `  C  S
767adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  S  F  S
77 simpr 103 . . . . . . . . . . . . 13 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C
7873, 4, 74, 75, 76, 8, 77frecuzrdglem 8858 . . . . . . . . . . . 12 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  ran  R
791eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  <. ,  2nd `  R `  `' G `  >.  ran  R
8079adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  <. ,  2nd `  R `  `' G `  >.  ran  R
8178, 80mpbird 156 . . . . . . . . . . 11 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T
82 opeldmg 4483 . . . . . . . . . . . 12  _V  2nd `  R `
 `' G `  S  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  dom  T
8341, 82mpan 400 . . . . . . . . . . 11  2nd `  R `
 `' G `  S  <. ,  2nd `  R `  `' G `  >.  T  dom  T
8429, 81, 83sylc 56 . . . . . . . . . 10 
ZZ>= `  C  dom  T
8584ex 108 . . . . . . . . 9 
ZZ>= `  C  dom  T
8685ssrdv 2945 . . . . . . . 8  ZZ>= `  C  C_ 
dom  T
8772, 86eqssd 2956 . . . . . . 7  dom  T 
ZZ>= `  C
8887eleq2d 2104 . . . . . 6  dom  T  ZZ>= `  C
8988pm5.32i 427 . . . . 5  dom  T  ZZ>= `  C
90 df-br 3756 . . . . . 6  T  <. ,  >.  T
9190mobii 1934 . . . . 5  T  <. ,  >.  T
9268, 89, 913imtr4i 190 . . . 4  dom  T  T
9392ralrimiva 2386 . . 3  dom  T  T
94 dffun7 4871 . . 3  Fun 
T  Rel  T  dom  T  T
9522, 93, 94sylanbrc 394 . 2  Fun  T
96 df-fn 4848 . 2  T  Fn  ZZ>= `  C  Fun  T  dom  T  ZZ>= `  C
9795, 87, 96sylanbrc 394 1  T  Fn  ZZ>= `  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wmo 1898  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809   omcom 4256    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457   2ndc2nd 5708  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  frecuzrdgcl  8860  frecuzrdg0  8861  frecuzrdgsuc  8862  iseqfn  8881
  Copyright terms: Public domain W3C validator