ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri3 Unicode version

Theorem nntri3 6075
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nntri3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )

Proof of Theorem nntri3
StepHypRef Expression
1 elirr 4266 . . . . . 6  |-  -.  A  e.  A
2 eleq2 2101 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  A  <->  A  e.  B ) )
31, 2mtbii 599 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  -.  A  e.  B )
43con2i 557 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  =  B )
54adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  -.  A  =  B )
6 simpl 102 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  A  e.  B )
76con2i 557 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) )
87adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
95, 82falsed 618 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  e.  B
)  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
10 simpr 103 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  A  =  B )
11 eleq1 2100 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( A  e.  A  <->  B  e.  A ) )
121, 11mtbii 599 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  -.  B  e.  A )
133, 12jca 290 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
1413adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
1510, 142thd 164 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  A  =  B
)  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
1612con2i 557 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  -.  A  =  B )
1716adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  -.  A  =  B )
18 simpr 103 . . . . 5  |-  ( ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
)  ->  -.  B  e.  A )
1918con2i 557 . . . 4  |-  ( B  e.  A  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) )
2019adantl 262 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  -.  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A
) )
2117, 202falsed 618 . 2  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  B  e.  A
)  ->  ( A  =  B  <->  ( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
22 nntri3or 6072 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
239, 15, 21, 22mpjao3dan 1202 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  <-> 
( -.  A  e.  B  /\  -.  B  e.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   omcom 4313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  9192
  Copyright terms: Public domain W3C validator