Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfzennn Unicode version

Theorem frecfzennn 9203
 Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See frec2uz0d 9185 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1 frec
Assertion
Ref Expression
frecfzennn

Proof of Theorem frecfzennn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5520 . . 3
2 fveq2 5178 . . 3
31, 2breq12d 3777 . 2
4 oveq2 5520 . . 3
5 fveq2 5178 . . 3
64, 5breq12d 3777 . 2
7 oveq2 5520 . . 3
8 fveq2 5178 . . 3
97, 8breq12d 3777 . 2
10 oveq2 5520 . . 3
11 fveq2 5178 . . 3
1210, 11breq12d 3777 . 2
13 0ex 3884 . . . 4
1413enref 6245 . . 3
15 fz10 8910 . . 3
16 0zd 8257 . . . . . . 7
17 frecfzennn.1 . . . . . . 7 frec
1816, 17frec2uzf1od 9192 . . . . . 6
1918trud 1252 . . . . 5
20 peano1 4317 . . . . 5
2119, 20pm3.2i 257 . . . 4
2216, 17frec2uz0d 9185 . . . . 5
2322trud 1252 . . . 4
24 f1ocnvfv 5419 . . . 4
2521, 23, 24mp2 16 . . 3
2614, 15, 253brtr4i 3792 . 2
27 simpr 103 . . . . 5
28 peano2nn0 8222 . . . . . . 7
29 zex 8254 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029mptex 5387 . . . . . . . . . . . . . 14
31 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31fvex 5195 . . . . . . . . . . . . 13
3332ax-gen 1338 . . . . . . . . . . . 12
34 0z 8256 . . . . . . . . . . . 12
35 frecfnom 5986 . . . . . . . . . . . 12 frec
3633, 34, 35mp2an 402 . . . . . . . . . . 11 frec
3717fneq1i 4993 . . . . . . . . . . 11 frec
3836, 37mpbir 134 . . . . . . . . . 10
39 omex 4316 . . . . . . . . . 10
40 fnex 5383 . . . . . . . . . 10
4138, 39, 40mp2an 402 . . . . . . . . 9
4241cnvex 4856 . . . . . . . 8
43 vex 2560 . . . . . . . 8
4442, 43fvex 5195 . . . . . . 7
45 en2sn 6290 . . . . . . 7
4628, 44, 45sylancl 392 . . . . . 6
4746adantr 261 . . . . 5
48 fzp1disj 8942 . . . . . 6
4948a1i 9 . . . . 5
50 f1ocnvdm 5421 . . . . . . . . . 10
5119, 50mpan 400 . . . . . . . . 9
52 nn0uz 8507 . . . . . . . . 9
5351, 52eleq2s 2132 . . . . . . . 8
54 nnord 4334 . . . . . . . 8
55 ordirr 4267 . . . . . . . 8
5653, 54, 553syl 17 . . . . . . 7
5756adantr 261 . . . . . 6
58 disjsn 3432 . . . . . 6
5957, 58sylibr 137 . . . . 5
60 unen 6293 . . . . 5
6127, 47, 49, 59, 60syl22anc 1136 . . . 4
62 1z 8271 . . . . . 6
63 1m1e0 7984 . . . . . . . . . 10
6463fveq2i 5181 . . . . . . . . 9
6552, 64eqtr4i 2063 . . . . . . . 8
6665eleq2i 2104 . . . . . . 7
6766biimpi 113 . . . . . 6
68 fzsuc2 8941 . . . . . 6
6962, 67, 68sylancr 393 . . . . 5
7069adantr 261 . . . 4
71 peano2 4318 . . . . . . . . 9
7253, 71syl 14 . . . . . . . 8
7372, 19jctil 295 . . . . . . 7
74 0zd 8257 . . . . . . . . . 10
75 id 19 . . . . . . . . . 10
7674, 17, 75frec2uzsucd 9187 . . . . . . . . 9
7753, 76syl 14 . . . . . . . 8
7852eleq2i 2104 . . . . . . . . . . 11
7978biimpi 113 . . . . . . . . . 10
80 f1ocnvfv2 5418 . . . . . . . . . 10
8119, 79, 80sylancr 393 . . . . . . . . 9
8281oveq1d 5527 . . . . . . . 8
8377, 82eqtrd 2072 . . . . . . 7
84 f1ocnvfv 5419 . . . . . . 7
8573, 83, 84sylc 56 . . . . . 6
8685adantr 261 . . . . 5
87 df-suc 4108 . . . . 5
8886, 87syl6eq 2088 . . . 4
8961, 70, 883brtr4d 3794 . . 3
9089ex 108 . 2
913, 6, 9, 12, 26, 90nn0ind 8352 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97  wal 1241   wceq 1243   wtru 1244   wcel 1393  cvv 2557   cun 2915   cin 2916  c0 3224  csn 3375   class class class wbr 3764   cmpt 3818   word 4099   csuc 4102  com 4313  ccnv 4344   wfn 4897  wf1o 4901  cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977   cen 6219  cc0 6889  c1 6890   caddc 6892   cmin 7182  cn0 8181  cz 8245  cuz 8473  cfz 8874 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-en 6222  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875 This theorem is referenced by:  frecfzen2  9204
 Copyright terms: Public domain W3C validator