ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecfzennn Structured version   Unicode version

Theorem frecfzennn 8864
Description: The cardinality of a finite set of sequential integers. (See frec2uz0d 8846 for a description of the hypothesis.) (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
frecfzennn.1  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  0
Assertion
Ref Expression
frecfzennn  N  NN0 
1 ... N  ~~  `' G `  N

Proof of Theorem frecfzennn
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5463 . . 3  n  0 
1 ... n  1 ... 0
2 fveq2 5121 . . 3  n  0  `' G `  n  `' G `  0
31, 2breq12d 3768 . 2  n  0  1 ... n  ~~  `' G `  n  1 ... 0  ~~  `' G `  0
4 oveq2 5463 . . 3  n  m 
1 ... n  1 ... m
5 fveq2 5121 . . 3  n  m  `' G `  n  `' G `  m
64, 5breq12d 3768 . 2  n  m  1 ... n  ~~  `' G `  n  1 ... m  ~~  `' G `  m
7 oveq2 5463 . . 3  n  m  + 
1 
1 ... n  1 ... m  +  1
8 fveq2 5121 . . 3  n  m  + 
1  `' G `  n  `' G `  m  +  1
97, 8breq12d 3768 . 2  n  m  + 
1  1 ... n  ~~  `' G `  n  1 ... m  + 
1  ~~  `' G `  m  +  1
10 oveq2 5463 . . 3  n  N 
1 ... n  1 ... N
11 fveq2 5121 . . 3  n  N  `' G `  n  `' G `  N
1210, 11breq12d 3768 . 2  n  N  1 ... n  ~~  `' G `  n  1 ... N  ~~  `' G `  N
13 0ex 3875 . . . 4  (/)  _V
1413enref 6181 . . 3  (/)  ~~  (/)
15 fz10 8660 . . 3  1 ... 0  (/)
16 0zd 8013 . . . . . . 7  0  ZZ
17 frecfzennn.1 . . . . . . 7  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  0
1816, 17frec2uzf1od 8853 . . . . . 6  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0
1918trud 1251 . . . . 5  G : om
-1-1-onto-> ZZ>= `  0
20 peano1 4260 . . . . 5  (/)  om
2119, 20pm3.2i 257 . . . 4  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0  (/)  om
2216, 17frec2uz0d 8846 . . . . 5  G `  (/)  0
2322trud 1251 . . . 4  G `
 (/)  0
24 f1ocnvfv 5362 . . . 4  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0  (/)  om  G `  (/)  0  `' G `  0  (/)
2521, 23, 24mp2 16 . . 3  `' G `  0  (/)
2614, 15, 253brtr4i 3783 . 2  1 ... 0  ~~  `' G `  0
27 simpr 103 . . . . 5  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  1 ... m  ~~  `' G `  m
28 peano2nn0 7978 . . . . . . 7  m  NN0  m  +  1  NN0
29 zex 8010 . . . . . . . . . . . . . . 15  ZZ  _V
3029mptex 5330 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ  |->  +  1  _V
31 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 
_V
3230, 31fvex 5138 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ  |->  +  1 `  _V
3332ax-gen 1335 . . . . . . . . . . . 12  ZZ  |->  +  1 `  _V
34 0z 8012 . . . . . . . . . . . 12  0  ZZ
35 frecfnom 5925 . . . . . . . . . . . 12  ZZ  |->  +  1 `

_V  0  ZZ frec  ZZ  |->  +  1 ,  0  Fn  om
3633, 34, 35mp2an 402 . . . . . . . . . . 11 frec  ZZ  |->  +  1 ,  0  Fn  om
3717fneq1i 4936 . . . . . . . . . . 11  G  Fn  om frec  ZZ  |->  +  1 ,  0  Fn 
om
3836, 37mpbir 134 . . . . . . . . . 10  G  Fn  om
39 omex 4259 . . . . . . . . . 10  om  _V
40 fnex 5326 . . . . . . . . . 10  G  Fn  om  om  _V 
G  _V
4138, 39, 40mp2an 402 . . . . . . . . 9  G 
_V
4241cnvex 4799 . . . . . . . 8  `' G  _V
43 vex 2554 . . . . . . . 8  m 
_V
4442, 43fvex 5138 . . . . . . 7  `' G `  m  _V
45 en2sn 6226 . . . . . . 7  m  +  1  NN0  `' G `  m  _V  { m  + 
1 }  ~~  { `' G `  m }
4628, 44, 45sylancl 392 . . . . . 6  m  NN0  { m  +  1 }  ~~  { `' G `  m }
4746adantr 261 . . . . 5  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  { m  + 
1 }  ~~  { `' G `  m }
48 fzp1disj 8692 . . . . . 6  1 ... m  i^i  { m  +  1 }  (/)
4948a1i 9 . . . . 5  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  1 ... m  i^i  { m  +  1 }  (/)
50 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . . 10  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0  m  ZZ>=
`  0  `' G `  m  om
5119, 50mpan 400 . . . . . . . . 9  m  ZZ>= `  0  `' G `  m  om
52 nn0uz 8263 . . . . . . . . 9  NN0  ZZ>= `  0
5351, 52eleq2s 2129 . . . . . . . 8  m  NN0  `' G `  m  om
54 nnord 4277 . . . . . . . 8  `' G `  m  om  Ord  `' G `  m
55 ordirr 4225 . . . . . . . 8  Ord  `' G `  m  `' G `  m  `' G `  m
5653, 54, 553syl 17 . . . . . . 7  m  NN0  `' G `  m  `' G `  m
5756adantr 261 . . . . . 6  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  `' G `  m  `' G `  m
58 disjsn 3423 . . . . . 6  `' G `  m  i^i  { `' G `  m }  (/)  `' G `  m  `' G `  m
5957, 58sylibr 137 . . . . 5  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  `' G `  m  i^i  { `' G `  m }  (/)
60 unen 6229 . . . . 5  1 ... m  ~~  `' G `  m  { m  + 
1 }  ~~  { `' G `  m }  1 ... m  i^i 
{ m  + 
1 }  (/)  `' G `  m  i^i  { `' G `  m }  (/)  1 ... m  u.  { m  +  1 }  ~~  `' G `  m  u.  { `' G `  m }
6127, 47, 49, 59, 60syl22anc 1135 . . . 4  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  1 ... m  u.  { m  +  1 }  ~~  `' G `  m  u.  { `' G `  m }
62 1z 8027 . . . . . 6  1  ZZ
63 1m1e0 7744 . . . . . . . . . 10  1  -  1  0
6463fveq2i 5124 . . . . . . . . 9  ZZ>= `  1  -  1 
ZZ>= `  0
6552, 64eqtr4i 2060 . . . . . . . 8  NN0  ZZ>= `  1  -  1
6665eleq2i 2101 . . . . . . 7  m  NN0  m  ZZ>= `  1  -  1
6766biimpi 113 . . . . . 6  m  NN0  m  ZZ>= `  1  -  1
68 fzsuc2 8691 . . . . . 6  1  ZZ  m  ZZ>= `  1  -  1  1 ... m  +  1  1 ... m  u.  { m  +  1 }
6962, 67, 68sylancr 393 . . . . 5  m  NN0 
1 ... m  + 
1  1 ... m  u.  { m  +  1 }
7069adantr 261 . . . 4  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  1 ... m  +  1  1 ... m  u.  { m  +  1 }
71 peano2 4261 . . . . . . . . 9  `' G `  m  om  suc  `' G `  m  om
7253, 71syl 14 . . . . . . . 8  m  NN0  suc  `' G `  m  om
7372, 19jctil 295 . . . . . . 7  m  NN0  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0  suc  `' G `  m  om
74 0zd 8013 . . . . . . . . . 10  `' G `  m  om  0  ZZ
75 id 19 . . . . . . . . . 10  `' G `  m  om  `' G `  m  om
7674, 17, 75frec2uzsucd 8848 . . . . . . . . 9  `' G `  m  om  G `  suc  `' G `  m  G `  `' G `  m  +  1
7753, 76syl 14 . . . . . . . 8  m  NN0  G `  suc  `' G `  m  G `  `' G `  m  +  1
7852eleq2i 2101 . . . . . . . . . . 11  m  NN0  m  ZZ>= `  0
7978biimpi 113 . . . . . . . . . 10  m  NN0  m  ZZ>= `  0
80 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . . 10  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0  m  ZZ>=
`  0  G `  `' G `  m  m
8119, 79, 80sylancr 393 . . . . . . . . 9  m  NN0  G `  `' G `  m  m
8281oveq1d 5470 . . . . . . . 8  m  NN0  G `  `' G `  m  +  1  m  + 
1
8377, 82eqtrd 2069 . . . . . . 7  m  NN0  G `  suc  `' G `  m  m  +  1
84 f1ocnvfv 5362 . . . . . . 7  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  0  suc  `' G `  m  om  G `
 suc  `' G `  m  m  +  1  `' G `  m  +  1  suc  `' G `  m
8573, 83, 84sylc 56 . . . . . 6  m  NN0  `' G `  m  +  1  suc  `' G `  m
8685adantr 261 . . . . 5  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  `' G `  m  +  1  suc  `' G `  m
87 df-suc 4074 . . . . 5  suc  `' G `  m  `' G `  m  u.  { `' G `  m }
8886, 87syl6eq 2085 . . . 4  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  `' G `  m  +  1  `' G `  m  u.  { `' G `  m }
8961, 70, 883brtr4d 3785 . . 3  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m  1 ... m  +  1  ~~  `' G `  m  +  1
9089ex 108 . 2  m  NN0  1 ... m  ~~  `' G `  m 
1 ... m  + 
1  ~~  `' G `  m  +  1
913, 6, 9, 12, 26, 90nn0ind 8108 1  N  NN0 
1 ... N  ~~  `' G `  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242   wtru 1243   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909    i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   class class class wbr 3755    |-> cmpt 3809   Ord word 4065   suc csuc 4068   omcom 4256   `'ccnv 4287    Fn wfn 4840   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917    ~~ cen 6155   0cc0 6691   1c1 6692    + caddc 6694    - cmin 6959   NN0cn0 7937   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229   ...cfz 8624
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-apti 6778  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625
This theorem is referenced by:  frecfzen2  8865
  Copyright terms: Public domain W3C validator