ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dff13 Unicode version

Theorem dff13 5350
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13  F : -1-1->  F : -->  F `  F `
Distinct variable groups:   ,,   , F,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5034 . 2  F : -1-1->  F : -->  F
2 ffn 4989 . . . 4  F : -->  F  Fn
3 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
4 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
53, 4breldm 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  F  dom  F
6 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15  F  Fn  dom  F
76eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . 14  F  Fn  dom  F
85, 7syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13  F  Fn  F
9 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 
_V
109, 4breldm 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  F  dom  F
116eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . 14  F  Fn  dom  F
1210, 11syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13  F  Fn  F
138, 12anim12d 318 . . . . . . . . . . . 12  F  Fn  F  F
1413pm4.71rd 374 . . . . . . . . . . 11  F  Fn  F  F  F  F
15 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . 15  F `  F `
16 fnbrfvb 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15  F  Fn  F `  F
1715, 16syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14  F  Fn  F `  F
18 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . 15  F `  F `
19 fnbrfvb 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15  F  Fn  F `  F
2018, 19syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14  F  Fn  F `  F
2117, 20bi2anan9 538 . . . . . . . . . . . . 13  F  Fn  F  Fn  F `  F `  F  F
2221anandis 526 . . . . . . . . . . . 12  F  Fn  F `  F `  F  F
2322pm5.32da 425 . . . . . . . . . . 11  F  Fn  F `  F `  F  F
2414, 23bitr4d 180 . . . . . . . . . 10  F  Fn  F  F  F `  F `
2524imbi1d 220 . . . . . . . . 9  F  Fn  F  F  F `  F `
26 impexp 250 . . . . . . . . 9  F `  F `  F `  F `
2725, 26syl6bb 185 . . . . . . . 8  F  Fn  F  F  F `  F `
2827albidv 1702 . . . . . . 7  F  Fn  F  F  F `  F `
29 19.21v 1750 . . . . . . . 8  F `  F `  F `
 F `
30 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . . . 14  Fun  F  dom  F  F `  _V
3130funfni 4942 . . . . . . . . . . . . 13  F  Fn  F `  _V
32 eqvincg 2662 . . . . . . . . . . . . 13  F `  _V  F `  F `  F `  F `
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12  F  Fn  F `  F `  F `  F `
3433imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11  F  Fn  F `
 F `  F `  F `
35 19.23v 1760 . . . . . . . . . . 11  F `  F `  F `  F `
3634, 35syl6rbbr 188 . . . . . . . . . 10  F  Fn  F `  F `  F `
 F `
3736adantrr 448 . . . . . . . . 9  F  Fn  F `  F `  F `  F `
3837pm5.74da 417 . . . . . . . 8  F  Fn  F `  F `  F `  F `
3929, 38syl5bb 181 . . . . . . 7  F  Fn  F `  F `  F `  F `
4028, 39bitrd 177 . . . . . 6  F  Fn  F  F  F `
 F `
41402albidv 1744 . . . . 5  F  Fn  F  F  F `  F `
42 breq1 3758 . . . . . . . 8  F  F
4342mo4 1958 . . . . . . 7  F  F  F
4443albii 1356 . . . . . 6  F  F  F
45 alrot3 1371 . . . . . 6  F  F  F  F
4644, 45bitri 173 . . . . 5  F  F  F
47 r2al 2337 . . . . 5  F `
 F `  F `  F `
4841, 46, 473bitr4g 212 . . . 4  F  Fn  F  F `
 F `
492, 48syl 14 . . 3  F : -->  F  F `
 F `
5049pm5.32i 427 . 2  F : -->  F  F : -->  F `  F `
511, 50bitri 173 1  F : -1-1->  F : -->  F `  F `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wmo 1898  wral 2300   _Vcvv 2551   class class class wbr 3755   dom cdm 4288    Fn wfn 4840   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5351  dff13f  5352  dff1o6  5359  fcof1  5366  f1o2ndf1  5791  cnref1o  8357  frec2uzf1od  8873
  Copyright terms: Public domain W3C validator