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Theorem dff13 5350
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝐹,y
Allowed substitution hints:   B(x,y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5034 . 2 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB z∃*x x𝐹z))
2 ffn 4989 . . . 4 (𝐹:AB𝐹 Fn A)
3 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 x V
4 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 z V
53, 4breldm 4482 . . . . . . . . . . . . . 14 (x𝐹zx dom 𝐹)
6 fndm 4941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Fn A → dom 𝐹 = A)
76eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn A → (x dom 𝐹x A))
85, 7syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn A → (x𝐹zx A))
9 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15 y V
109, 4breldm 4482 . . . . . . . . . . . . . 14 (y𝐹zy dom 𝐹)
116eleq2d 2104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn A → (y dom 𝐹y A))
1210, 11syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn A → (y𝐹zy A))
138, 12anim12d 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn A → ((x𝐹z y𝐹z) → (x A y A)))
1413pm4.71rd 374 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn A → ((x𝐹z y𝐹z) ↔ ((x A y A) (x𝐹z y𝐹z))))
15 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = z)
16 fnbrfvb 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) = zx𝐹z))
1715, 16syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn A x A) → (z = (𝐹x) ↔ x𝐹z))
18 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = (𝐹y) ↔ (𝐹y) = z)
19 fnbrfvb 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn A y A) → ((𝐹y) = zy𝐹z))
2018, 19syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn A y A) → (z = (𝐹y) ↔ y𝐹z))
2117, 20bi2anan9 538 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 Fn A x A) (𝐹 Fn A y A)) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) ↔ (x𝐹z y𝐹z)))
2221anandis 526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn A (x A y A)) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) ↔ (x𝐹z y𝐹z)))
2322pm5.32da 425 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn A → (((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y))) ↔ ((x A y A) (x𝐹z y𝐹z))))
2414, 23bitr4d 180 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn A → ((x𝐹z y𝐹z) ↔ ((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y)))))
2524imbi1d 220 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn A → (((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ (((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y))) → x = y)))
26 impexp 250 . . . . . . . . 9 ((((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y))) → x = y) ↔ ((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)))
2725, 26syl6bb 185 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn A → (((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ ((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y))))
2827albidv 1702 . . . . . . 7 (𝐹 Fn A → (z((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ z((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y))))
29 19.21v 1750 . . . . . . . 8 (z((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)) ↔ ((x A y A) → z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)))
30 funfvex 5135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
3130funfni 4942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
32 eqvincg 2662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹x) V → ((𝐹x) = (𝐹y) ↔ z(z = (𝐹x) z = (𝐹y))))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) = (𝐹y) ↔ z(z = (𝐹x) z = (𝐹y))))
3433imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn A x A) → (((𝐹x) = (𝐹y) → x = y) ↔ (z(z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)))
35 19.23v 1760 . . . . . . . . . . 11 (z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y) ↔ (z(z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y))
3634, 35syl6rbbr 188 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn A x A) → (z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y) ↔ ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
3736adantrr 448 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn A (x A y A)) → (z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y) ↔ ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
3837pm5.74da 417 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn A → (((x A y A) → z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)) ↔ ((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
3929, 38syl5bb 181 . . . . . . 7 (𝐹 Fn A → (z((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)) ↔ ((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
4028, 39bitrd 177 . . . . . 6 (𝐹 Fn A → (z((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ ((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
41402albidv 1744 . . . . 5 (𝐹 Fn A → (xyz((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ xy((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
42 breq1 3758 . . . . . . . 8 (x = y → (x𝐹zy𝐹z))
4342mo4 1958 . . . . . . 7 (∃*x x𝐹zxy((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
4443albii 1356 . . . . . 6 (z∃*x x𝐹zzxy((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
45 alrot3 1371 . . . . . 6 (zxy((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ xyz((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
4644, 45bitri 173 . . . . 5 (z∃*x x𝐹zxyz((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
47 r2al 2337 . . . . 5 (x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y) ↔ xy((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
4841, 46, 473bitr4g 212 . . . 4 (𝐹 Fn A → (z∃*x x𝐹zx A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
492, 48syl 14 . . 3 (𝐹:AB → (z∃*x x𝐹zx A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
5049pm5.32i 427 . 2 ((𝐹:AB z∃*x x𝐹z) ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
511, 50bitri 173 1 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  ∃*wmo 1898  wral 2300  Vcvv 2551   class class class wbr 3755  dom cdm 4288   Fn wfn 4840  wf 4841  1-1wf1 4842  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5351  dff13f  5352  dff1o6  5359  fcof1  5366  f1o2ndf1  5791  cnref1o  8337  frec2uzf1od  8853
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