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Theorem dff13 5332
Description: A one-to-one function in terms of function values. Compare Theorem 4.8(iv) of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
dff13 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝐹,y
Allowed substitution hints:   B(x,y)

Proof of Theorem dff13
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dff12 5016 . 2 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB z∃*x x𝐹z))
2 ffn 4972 . . . 4 (𝐹:AB𝐹 Fn A)
3 vex 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15 x V
4 vex 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15 z V
53, 4breldm 4466 . . . . . . . . . . . . . 14 (x𝐹zx dom 𝐹)
6 fndm 4924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 Fn A → dom 𝐹 = A)
76eleq2d 2089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn A → (x dom 𝐹x A))
85, 7syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn A → (x𝐹zx A))
9 vex 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15 y V
109, 4breldm 4466 . . . . . . . . . . . . . 14 (y𝐹zy dom 𝐹)
116eleq2d 2089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 Fn A → (y dom 𝐹y A))
1210, 11syl5ib 143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 Fn A → (y𝐹zy A))
138, 12anim12d 318 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn A → ((x𝐹z y𝐹z) → (x A y A)))
1413pm4.71rd 374 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn A → ((x𝐹z y𝐹z) ↔ ((x A y A) (x𝐹z y𝐹z))))
15 eqcom 2024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = (𝐹x) ↔ (𝐹x) = z)
16 fnbrfvb 5139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) = zx𝐹z))
1715, 16syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn A x A) → (z = (𝐹x) ↔ x𝐹z))
18 eqcom 2024 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z = (𝐹y) ↔ (𝐹y) = z)
19 fnbrfvb 5139 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn A y A) → ((𝐹y) = zy𝐹z))
2018, 19syl5bb 181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn A y A) → (z = (𝐹y) ↔ y𝐹z))
2117, 20bi2anan9 526 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 Fn A x A) (𝐹 Fn A y A)) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) ↔ (x𝐹z y𝐹z)))
2221anandis 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn A (x A y A)) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) ↔ (x𝐹z y𝐹z)))
2322pm5.32da 428 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn A → (((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y))) ↔ ((x A y A) (x𝐹z y𝐹z))))
2414, 23bitr4d 180 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn A → ((x𝐹z y𝐹z) ↔ ((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y)))))
2524imbi1d 220 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn A → (((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ (((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y))) → x = y)))
26 impexp 250 . . . . . . . . 9 ((((x A y A) (z = (𝐹x) z = (𝐹y))) → x = y) ↔ ((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)))
2725, 26syl6bb 185 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn A → (((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ ((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y))))
2827albidv 1687 . . . . . . 7 (𝐹 Fn A → (z((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ z((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y))))
29 19.21v 1735 . . . . . . . 8 (z((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)) ↔ ((x A y A) → z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)))
30 funfvex 5117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
3130funfni 4925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
32 eqvincg 2645 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹x) V → ((𝐹x) = (𝐹y) ↔ z(z = (𝐹x) z = (𝐹y))))
3331, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) = (𝐹y) ↔ z(z = (𝐹x) z = (𝐹y))))
3433imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 Fn A x A) → (((𝐹x) = (𝐹y) → x = y) ↔ (z(z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)))
35 19.23v 1745 . . . . . . . . . . 11 (z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y) ↔ (z(z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y))
3634, 35syl6rbbr 188 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn A x A) → (z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y) ↔ ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
3736adantrr 451 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Fn A (x A y A)) → (z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y) ↔ ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
3837pm5.74da 420 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn A → (((x A y A) → z((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)) ↔ ((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
3929, 38syl5bb 181 . . . . . . 7 (𝐹 Fn A → (z((x A y A) → ((z = (𝐹x) z = (𝐹y)) → x = y)) ↔ ((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
4028, 39bitrd 177 . . . . . 6 (𝐹 Fn A → (z((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ ((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
41402albidv 1729 . . . . 5 (𝐹 Fn A → (xyz((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ xy((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y))))
42 breq1 3741 . . . . . . . 8 (x = y → (x𝐹zy𝐹z))
4342mo4 1943 . . . . . . 7 (∃*x x𝐹zxy((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
4443albii 1339 . . . . . 6 (z∃*x x𝐹zzxy((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
45 alrot3 1354 . . . . . 6 (zxy((x𝐹z y𝐹z) → x = y) ↔ xyz((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
4644, 45bitri 173 . . . . 5 (z∃*x x𝐹zxyz((x𝐹z y𝐹z) → x = y))
47 r2al 2321 . . . . 5 (x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y) ↔ xy((x A y A) → ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
4841, 46, 473bitr4g 212 . . . 4 (𝐹 Fn A → (z∃*x x𝐹zx A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
492, 48syl 14 . . 3 (𝐹:AB → (z∃*x x𝐹zx A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
5049pm5.32i 430 . 2 ((𝐹:AB z∃*x x𝐹z) ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
511, 50bitri 173 1 (𝐹:A1-1B ↔ (𝐹:AB x A y A ((𝐹x) = (𝐹y) → x = y)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1226   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  ∃*wmo 1883  wral 2284  Vcvv 2535   class class class wbr 3738  dom cdm 4272   Fn wfn 4824  wf 4825  1-1wf1 4826  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fv 4837
This theorem is referenced by:  f1veqaeq  5333  dff13f  5334  dff1o6  5341  fcof1  5348  f1o2ndf1  5772
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