Theorem dff12 5091

Description: Alternate definition of a one-to-one function. (Contributed by NM, 31-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dff12	|- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )

Distinct variable group:   x, y, F

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)

Proof of Theorem dff12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1 4907	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
2		funcnv2 4959	. . 3 |- ( Fun `' F <-> A. y E* x x F y )
3	2	anbi2i 430	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )
4	1, 3	bitri 173	1 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ A. y E* x x F y ) )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   A.wal 1241   E*wmo 1901   class class class wbr 3764   `'ccnv 4344   Fun wfun 4896   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-fun 4904  df-f1 4907

This theorem is referenced by:  dff13  5407