Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnref1o Unicode version

Theorem cnref1o 8357
 Description: There is a natural one-to-one mapping from to , where we map to . In our construction of the complex numbers, this is in fact our definition of (see df-c 6717), but in the axiomatic treatment we can only show that there is the expected mapping between these two sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnref1o.1
Assertion
Ref Expression
cnref1o
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cnref1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 102 . . . . . . . 8
21recnd 6851 . . . . . . 7
3 ax-icn 6778 . . . . . . . . 9
43a1i 9 . . . . . . . 8
5 simpr 103 . . . . . . . . 9
65recnd 6851 . . . . . . . 8
74, 6mulcld 6845 . . . . . . 7
82, 7addcld 6844 . . . . . 6
98rgen2a 2369 . . . . 5
10 cnref1o.1 . . . . . 6
1110fnmpt2 5770 . . . . 5
129, 11ax-mp 7 . . . 4
13 1st2nd2 5743 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5125 . . . . . . . 8
15 df-ov 5458 . . . . . . . 8
1614, 15syl6eqr 2087 . . . . . . 7
17 xp1st 5734 . . . . . . . 8
18 xp2nd 5735 . . . . . . . 8
1917recnd 6851 . . . . . . . . 9
203a1i 9 . . . . . . . . . 10
2118recnd 6851 . . . . . . . . . 10
2220, 21mulcld 6845 . . . . . . . . 9
2319, 22addcld 6844 . . . . . . . 8
24 oveq1 5462 . . . . . . . . 9
25 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10
2625oveq2d 5471 . . . . . . . . 9
2724, 26, 10ovmpt2g 5577 . . . . . . . 8
2817, 18, 23, 27syl3anc 1134 . . . . . . 7
2916, 28eqtrd 2069 . . . . . 6
3029, 23eqeltrd 2111 . . . . 5
3130rgen 2368 . . . 4
32 ffnfv 5266 . . . 4
3312, 31, 32mpbir2an 848 . . 3
3417, 18jca 290 . . . . . . 7
35 xp1st 5734 . . . . . . . 8
36 xp2nd 5735 . . . . . . . 8
3735, 36jca 290 . . . . . . 7
38 cru 7386 . . . . . . 7
3934, 37, 38syl2an 273 . . . . . 6
40 fveq2 5121 . . . . . . . . 9
41 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10
42 fveq2 5121 . . . . . . . . . . 11
4342oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10
4441, 43oveq12d 5473 . . . . . . . . 9
4540, 44eqeq12d 2051 . . . . . . . 8
4645, 29vtoclga 2613 . . . . . . 7
4729, 46eqeqan12d 2052 . . . . . 6
48 1st2nd2 5743 . . . . . . . 8
4913, 48eqeqan12d 2052 . . . . . . 7
50 vex 2554 . . . . . . . . 9
51 1stexg 5736 . . . . . . . . 9
5250, 51ax-mp 7 . . . . . . . 8
53 2ndexg 5737 . . . . . . . . 9
5450, 53ax-mp 7 . . . . . . . 8
5552, 54opth 3965 . . . . . . 7
5649, 55syl6bb 185 . . . . . 6
5739, 47, 563bitr4d 209 . . . . 5
5857biimpd 132 . . . 4
5958rgen2a 2369 . . 3
60 dff13 5350 . . 3
6133, 59, 60mpbir2an 848 . 2
62 cnre 6821 . . . . . 6
63 simpl 102 . . . . . . . . 9
64 simpr 103 . . . . . . . . 9
6563recnd 6851 . . . . . . . . . 10
663a1i 9 . . . . . . . . . . 11
6764recnd 6851 . . . . . . . . . . 11
6866, 67mulcld 6845 . . . . . . . . . 10
6965, 68addcld 6844 . . . . . . . . 9
70 oveq1 5462 . . . . . . . . . 10
71 oveq2 5463 . . . . . . . . . . 11
7271oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10
7370, 72, 10ovmpt2g 5577 . . . . . . . . 9
7463, 64, 69, 73syl3anc 1134 . . . . . . . 8
7574eqeq2d 2048 . . . . . . 7
76752rexbiia 2334 . . . . . 6
7762, 76sylibr 137 . . . . 5
78 fveq2 5121 . . . . . . . 8
79 df-ov 5458 . . . . . . . 8
8078, 79syl6eqr 2087 . . . . . . 7
8180eqeq2d 2048 . . . . . 6
8281rexxp 4423 . . . . 5
8377, 82sylibr 137 . . . 4
8483rgen 2368 . . 3
85 dffo3 5257 . . 3
8633, 84, 85mpbir2an 848 . 2
87 df-f1o 4852 . 2
8861, 86, 87mpbir2an 848 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  cvv 2551  cop 3370   cxp 4286   wfn 4840  wf 4841  wf1 4842  wfo 4843  wf1o 4844  cfv 4845  (class class class)co 5455   cmpt2 5457  c1st 5707  c2nd 5708  cc 6709  cr 6710  ci 6713   caddc 6714   cmul 6716 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-ltxr 6862  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359 This theorem is referenced by:  cnrecnv  9138
 Copyright terms: Public domain W3C validator