ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1o2ndf1 Unicode version

Theorem f1o2ndf1 5791
Description: The  2nd (second member of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function  F is a one-to-one function of  F onto the range of  F. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
f1o2ndf1  F : -1-1->  2nd  |`  F : F -1-1-onto-> ran  F

Proof of Theorem f1o2ndf1
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5035 . . 3  F : -1-1->  F : -->
2 fo2ndf 5790 . . 3  F : -->  2nd  |`  F : F -onto-> ran  F
31, 2syl 14 . 2  F : -1-1->  2nd  |`  F : F -onto-> ran  F
4 f2ndf 5789 . . . . 5  F : -->  2nd  |`  F : F -->
51, 4syl 14 . . . 4  F : -1-1->  2nd  |`  F : F -->
6 fssxp 5001 . . . . . . 7  F : -->  F 
C_  X.
71, 6syl 14 . . . . . 6  F : -1-1->  F 
C_  X.
8 ssel2 2934 . . . . . . . . . . 11  F  C_  X.  F  X.
9 elxp2 4306 . . . . . . . . . . 11  X.  a  <. a ,  >.
108, 9sylib 127 . . . . . . . . . 10  F  C_  X.  F  a  <. a ,  >.
11 ssel2 2934 . . . . . . . . . . 11  F  C_  X.  F  X.
12 elxp2 4306 . . . . . . . . . . 11  X.  b  <. b ,  >.
1311, 12sylib 127 . . . . . . . . . 10  F  C_  X.  F  b  <. b ,  >.
1410, 13anim12dan 532 . . . . . . . . 9  F  C_  X.  F  F  a  <. a ,  >.  b  <. b ,  >.
15 fvres 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  <. a ,  >.  F  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd `  <. a , 
>.
1615adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 
<. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F  2nd  |`  F `  <. a ,  >.  2nd `  <. a ,  >.
1716adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  2nd  |`  F `  <. a , 
>.  2nd `  <. a , 
>.
18 fvres 5141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  <. b ,  >.  F  2nd  |`  F `
 <. b ,  >.  2nd `  <. b ,  >.
1918ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  2nd `  <. b ,  >.
2017, 19eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  2nd `  <. a ,  >.  2nd `  <. b ,  >.
21 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  a 
_V
22 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
_V
2321, 22op2nd 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  2nd `  <. a , 
>.
24 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  b 
_V
25 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 
_V
2624, 25op2nd 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  2nd `  <. b ,  >.
2723, 26eqeq12i 2050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  2nd `  <. a ,  >.  2nd `  <. b ,  >.
28 f1fun 5037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  F : -1-1->  Fun 
F
29 funopfv 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  Fun 
F  <. a ,  >.  F  F `  a
30 funopfv 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  Fun 
F  <. b ,  >.  F  F `  b
3129, 30anim12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  Fun 
F  <. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F  F `
 a  F `
 b
3228, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  F : -1-1->  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  F `
 a  F `
 b
33 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  F `  a  F `  a
3433biimpi 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  F `  a  F `  a
35 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  F `  b  F `  b
3635biimpi 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  F `  b  F `  b
3734, 36eqeqan12d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  F `  a  F `  b  F `  a  F `  b
38 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  a  a
39 simpl 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  b  b
4038, 39anim12i 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  a  b  a  b
41 f1veqaeq 5351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  F : -1-1->  a  b  F `  a  F `  b  a  b
4240, 41sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  F : -1-1->  a 
b  F `  a  F `  b  a  b
43 opeq12 3542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  a  b  <. a , 
>.  <. b ,  >.
4443ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  a  b  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
4542, 44syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  F : -1-1->  a 
b  F `  a  F `  b  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
4645com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  F : -1-1->  a 
b  F `  a  F `  b  <. a ,  >.  <. b ,  >.
4746ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  F : -1-1->  a 
b  F `  a  F `  b  <. a ,  >.  <. b ,  >.
4847com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  F `  a  F `  b  a  b  F : -1-1->  <. a , 
>.  <. b ,  >.
4937, 48syl6bi 152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  F `  a  F `  b  a 
b  F : -1-1->  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
5049com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  a 
b  F `  a  F `  b  F : -1-1->  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
5150pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  a  b  F `  a  F `  b  F : -1-1->  <. a , 
>.  <. b ,  >.
5251com14 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  F : -1-1->  a 
b  F `  a  F `  b  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
5352com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  F : -1-1->  F `  a  F `  b  a 
b  <. a ,  >.  <. b ,  >.
5432, 53syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  F : -1-1->  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a  b  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
5554com13 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  a  b  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  F : -1-1->  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
5655impcom 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  F : -1-1->  <. a , 
>.  <. b ,  >.
5756com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  F : -1-1->  <. a , 
>.  <. b ,  >.
5827, 57syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  2nd `  <. a ,  >.  2nd `  <. b ,  >.  F : -1-1->  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
5920, 58sylbid 139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  F : -1-1->  <.
a ,  >. 
<. b ,  >.
6059com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  a 
b  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
6160ex 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 
<. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F  a  b  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
6261adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F  C_  X.  <. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F  a  b  F : -1-1->  2nd  |`  F `  <. a ,  >.  2nd  |`  F `
 <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
6362com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  a  b  F  C_  X.  <. a , 
>.  F  <. b ,  >.  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
6463adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  a  <. a , 
>. 
b  F 
C_  X.  <. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
6564adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  F  C_  X.  <. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `  <. a ,  >.  2nd  |`  F `
 <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
66 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. a , 
>.  F  <. a , 
>.  F
6766ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  a  <. a , 
>. 
b  F  <. a , 
>.  F
68 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. b ,  >.  F  <. b ,  >.  F
6967, 68bi2anan9 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  F  F  <. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F
7069anbi2d 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F 
C_  X.  <. a ,  >.  F  <. b ,  >.  F
71 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. a , 
>.  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `  <. a ,  >.
7271ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  a  <. a , 
>. 
b  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `  <. a ,  >.
73 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. b ,  >.  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `  <. b ,  >.
7472, 73eqeqan12d 2052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `  <. a ,  >.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.
75 simpllr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  <. a ,  >.
76 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  <. b ,  >.
7775, 76eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >. 
<. a ,  >. 
<. b ,  >.
7874, 77imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
 <. a , 
>.  2nd  |`  F `  <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
7978imbi2d 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
 F : -1-1->  2nd  |`  F `  <. a ,  >.  2nd  |`  F `
 <. b ,  >.  <. a ,  >.  <. b ,  >.
8065, 70, 793imtr4d 192 . . . . . . . . . . . . . 14  a  <. a , 
>. 
b  <. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `
8180ex 108 . . . . . . . . . . . . 13  a  <. a , 
>. 
b 
<. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
8281rexlimdvva 2434 . . . . . . . . . . . 12  a  <. a ,  >.  b  <. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
8382ex 108 . . . . . . . . . . 11  a  <. a ,  >.  b  <. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
8483rexlimivv 2432 . . . . . . . . . 10  a  <. a ,  >.  b  <. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
8584imp 115 . . . . . . . . 9  a  <. a ,  >.  b  <. b ,  >.  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `
8614, 85mpcom 32 . . . . . . . 8  F  C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
8786ex 108 . . . . . . 7  F 
C_  X.  F  F  F : -1-1->  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
8887com23 72 . . . . . 6  F 
C_  X.  F : -1-1->  F  F  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `
897, 88mpcom 32 . . . . 5  F : -1-1->  F  F  2nd  |`  F `  2nd  |`  F `
9089ralrimivv 2394 . . . 4  F : -1-1->  F  F  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
91 dff13 5350 . . . 4  2nd  |`  F : F -1-1->  2nd  |`  F : F -->  F  F  2nd  |`  F `
 2nd  |`  F `
925, 90, 91sylanbrc 394 . . 3  F : -1-1->  2nd  |`  F : F -1-1->
93 df-f1 4850 . . . 4  2nd  |`  F : F -1-1->  2nd  |`  F : F -->  Fun  `' 2nd  |`  F
9493simprbi 260 . . 3  2nd  |`  F : F -1-1->  Fun  `' 2nd  |`  F
9592, 94syl 14 . 2  F : -1-1->  Fun  `' 2nd  |`  F
96 dff1o3 5075 . 2  2nd  |`  F : F -1-1-onto-> ran  F  2nd  |`  F : F -onto-> ran  F  Fun  `' 2nd  |`  F
973, 95, 96sylanbrc 394 1  F : -1-1->  2nd  |`  F : F -1-1-onto-> ran  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301    C_ wss 2911   <.cop 3370    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   ran crn 4289    |` cres 4290   Fun wfun 4839   -->wf 4841   -1-1->wf1 4842   -onto->wfo 4843   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845   2ndc2nd 5708
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-2nd 5710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator