Theorem f1o2ndf1 5849

Description: The 2nd (second member of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function F is a one-to-one function of F onto the range of F. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
f1o2ndf1	|- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F )

Proof of Theorem f1o2ndf1

Dummy variables a b v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f 5092	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> F : A --> B )
2		fo2ndf 5848	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F )
4		f2ndf 5847	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( 2nd |` F ) : F --> B )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F --> B )
6		fssxp 5058	. . . . . . 7 |- ( F : A --> B -> F C_ ( A X. B ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( F : A -1-1-> B -> F C_ ( A X. B ) )
8		ssel2 2940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ x e. F ) -> x e. ( A X. B ) )
9		elxp2 4363	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( A X. B ) <-> E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. )
10	8, 9	sylib 127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ x e. F ) -> E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. )
11		ssel2 2940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ y e. F ) -> y e. ( A X. B ) )
12		elxp2 4363	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( A X. B ) <-> E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. )
13	11, 12	sylib 127	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ y e. F ) -> E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. )
14	10, 13	anim12dan 532	. . . . . . . . 9 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. /\ E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. ) )
15		fvres 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( <. a , v >. e. F -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
16	15	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
17	16	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. a , v >. ) )
18		fvres 5198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( <. b , w >. e. F -> ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) )
19	18	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) )
20	17, 19	eqeq12d 2054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) <-> ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) ) )
21		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- a e. _V
22		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- v e. _V
23	21, 22	op2nd 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2nd ` <. a , v >. ) = v
24		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- b e. _V
25		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- w e. _V
26	24, 25	op2nd 5774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2nd ` <. b , w >. ) = w
27	23, 26	eqeq12i 2053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) <-> v = w )
28		f1fun 5094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun F )
29		funopfv 5213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( <. a , v >. e. F -> ( F ` a ) = v ) )
30		funopfv 5213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( <. b , w >. e. F -> ( F ` b ) = w ) )
31	29, 30	anim12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( Fun F -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) ) )
32	28, 31	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) ) )
33		eqcom 2042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F ` a ) = v <-> v = ( F ` a ) )
34	33	biimpi 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F ` a ) = v -> v = ( F ` a ) )
35		eqcom 2042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F ` b ) = w <-> w = ( F ` b ) )
36	35	biimpi 113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F ` b ) = w -> w = ( F ` b ) )
37	34, 36	eqeqan12d 2055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w <-> ( F ` a ) = ( F ` b ) ) )
38		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( a e. A /\ v e. B ) -> a e. A )
39		simpl 102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( b e. A /\ w e. B ) -> b e. A )
40	38, 39	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( a e. A /\ b e. A ) )
41		f1veqaeq 5408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( a e. A /\ b e. A ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
42	40, 41	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> a = b ) )
43		opeq12 3551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( a = b /\ v = w ) -> <. a , v >. = <. b , w >. )
44	43	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( a = b -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) )
45	42, 44	syl6 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
46	45	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( F : A -1-1-> B /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( v = w -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
47	46	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
48	47	com14 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( F ` a ) = ( F ` b ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
49	37, 48	syl6bi 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) ) )
50	49	com14 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( v = w -> ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) ) )
51	50	pm2.43i 43	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( v = w -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
52	51	com14 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
53	52	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( F ` a ) = v /\ ( F ` b ) = w ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
54	32, 53	syld 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
55	54	com13 74	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
56	55	impcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( v = w -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
57	56	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( v = w -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
58	27, 57	syl5bi 141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( 2nd ` <. a , v >. ) = ( 2nd ` <. b , w >. ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
59	20, 58	sylbid 139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> ( F : A -1-1-> B -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
60	59	com23 72	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) /\ ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
61	60	ex 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
62	61	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
63	62	com12 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
64	63	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
65	64	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
66		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. a , v >. -> ( x e. F <-> <. a , v >. e. F ) )
67	66	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( x e. F <-> <. a , v >. e. F ) )
68		eleq1 2100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. b , w >. -> ( y e. F <-> <. b , w >. e. F ) )
69	67, 68	bi2anan9 538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( x e. F /\ y e. F ) <-> ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) )
70	69	anbi2d 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) <-> ( F C_ ( A X. B ) /\ ( <. a , v >. e. F /\ <. b , w >. e. F ) ) ) )
71		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. a , v >. -> ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) )
72	71	ad2antlr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) )
73		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. b , w >. -> ( ( 2nd |` F ) ` y ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) )
74	72, 73	eqeqan12d 2055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) <-> ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) ) )
75		simpllr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> x = <. a , v >. )
76		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> y = <. b , w >. )
77	75, 76	eqeq12d 2054	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( x = y <-> <. a , v >. = <. b , w >. ) )
78	74, 77	imbi12d 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) <-> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) )
79	78	imbi2d 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) <-> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` <. a , v >. ) = ( ( 2nd |` F ) ` <. b , w >. ) -> <. a , v >. = <. b , w >. ) ) ) )
80	65, 70, 79	3imtr4d 192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) /\ y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
81	80	ex 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) /\ ( b e. A /\ w e. B ) ) -> ( y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
82	81	rexlimdvva 2440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a e. A /\ v e. B ) /\ x = <. a , v >. ) -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
83	82	ex 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. A /\ v e. B ) -> ( x = <. a , v >. -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
84	83	rexlimivv 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. -> ( E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
85	84	imp 115	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. a e. A E. v e. B x = <. a , v >. /\ E. b e. A E. w e. B y = <. b , w >. ) -> ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
86	14, 85	mpcom 32	. . . . . . . 8 |- ( ( F C_ ( A X. B ) /\ ( x e. F /\ y e. F ) ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
87	86	ex 108	. . . . . . 7 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
88	87	com23 72	. . . . . 6 |- ( F C_ ( A X. B ) -> ( F : A -1-1-> B -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) ) )
89	7, 88	mpcom 32	. . . . 5 |- ( F : A -1-1-> B -> ( ( x e. F /\ y e. F ) -> ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
90	89	ralrimivv 2400	. . . 4 |- ( F : A -1-1-> B -> A. x e. F A. y e. F ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) )
91		dff13 5407	. . . 4 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B <-> ( ( 2nd |` F ) : F --> B /\ A. x e. F A. y e. F ( ( ( 2nd |` F ) ` x ) = ( ( 2nd |` F ) ` y ) -> x = y ) ) )
92	5, 90, 91	sylanbrc 394	. . 3 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B )
93		df-f1 4907	. . . 4 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B <-> ( ( 2nd |` F ) : F --> B /\ Fun `' ( 2nd |` F ) ) )
94	93	simprbi 260	. . 3 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-> B -> Fun `' ( 2nd |` F ) )
95	92, 94	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-> B -> Fun `' ( 2nd |` F ) )
96		dff1o3 5132	. 2 |- ( ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F <-> ( ( 2nd |` F ) : F -onto-> ran F /\ Fun `' ( 2nd |` F ) ) )
97	3, 95, 96	sylanbrc 394	1 |- ( F : A -1-1-> B -> ( 2nd |` F ) : F -1-1-onto-> ran F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   E.wrex 2307   C_ wss 2917   <.cop 3378   X. cxp 4343   `'ccnv 4344   ran crn 4346   |` cres 4347   Fun wfun 4896   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899   -onto->wfo 4900   -1-1-onto->wf1o 4901   ` cfv 4902   2ndc2nd 5766

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-2nd 5768

This theorem is referenced by: (None)