ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgsuc Structured version   Unicode version

Theorem frecuzrdgsuc 8862
Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 8846 for the description of  G as the mapping from 
om to  ZZ>= `  C. (Contributed by Jim Kingdon, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
uzrdg.s  S  V
uzrdg.a  S
uzrdg.f  ZZ>= `  C  S  F  S
uzrdg.2  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
frecuzrdgfn.3  T  ran  R
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuc 
ZZ>= `  C  T `  +  1  F T `
Distinct variable groups:   ,   , C,   , G   , F,   , S,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()    R(,)    T(,)    G()    V(,)

Proof of Theorem frecuzrdgsuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . . . . 7  C  ZZ
21adantr 261 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  C  ZZ
3 frec2uz.2 . . . . . 6  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
4 uzrdg.s . . . . . . 7  S  V
54adantr 261 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  S  V
6 uzrdg.a . . . . . . 7  S
76adantr 261 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  S
8 uzrdg.f . . . . . . 7  ZZ>= `  C  S  F  S
98adantlr 446 . . . . . 6  ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  S  F  S
10 uzrdg.2 . . . . . 6  R frec 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >.
11 peano2uz 8282 . . . . . . 7  ZZ>= `  C  + 
1 
ZZ>= `  C
1211adantl 262 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  +  1  ZZ>= `  C
132, 3, 5, 7, 9, 10, 12frecuzrdglem 8858 . . . . 5 
ZZ>= `  C  <.  + 
1 ,  2nd `  R `
 `' G `  +  1
>.  ran  R
14 frecuzrdgfn.3 . . . . . 6  T  ran  R
1514adantr 261 . . . . 5 
ZZ>= `  C  T  ran  R
1613, 15eleqtrrd 2114 . . . 4 
ZZ>= `  C  <.  + 
1 ,  2nd `  R `
 `' G `  +  1
>.  T
171, 3, 4, 6, 8, 10, 14frecuzrdgfn 8859 . . . . . . 7  T  Fn  ZZ>= `  C
18 fnfun 4939 . . . . . . 7  T  Fn  ZZ>= `  C  Fun  T
1917, 18syl 14 . . . . . 6  Fun  T
20 funopfv 5156 . . . . . 6  Fun 
T  <.  +  1 ,  2nd `  R `  `' G `  +  1 >.  T  T `  +  1  2nd `  R `  `' G `  +  1
2119, 20syl 14 . . . . 5  <.  + 
1 ,  2nd `  R `
 `' G `  +  1
>.  T  T `  +  1  2nd `  R `  `' G `  +  1
2221adantr 261 . . . 4 
ZZ>= `  C  <.  + 
1 ,  2nd `  R `
 `' G `  +  1
>.  T  T `  +  1  2nd `  R `  `' G `  +  1
2316, 22mpd 13 . . 3 
ZZ>= `  C  T `  +  1  2nd `  R `  `' G `  +  1
241, 3frec2uzf1od 8853 . . . . . . . . 9  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C
25 f1ocnvdm 5364 . . . . . . . . 9  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  `' G `  om
2624, 25sylan 267 . . . . . . . 8 
ZZ>= `  C  `' G `  om
272, 3, 26frec2uzsucd 8848 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  G `  suc  `' G `  G `  `' G `  +  1
28 f1ocnvfv2 5361 . . . . . . . . 9  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  G `  `' G `
2924, 28sylan 267 . . . . . . . 8 
ZZ>= `  C  G `  `' G `
3029oveq1d 5470 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  G `  `' G `  +  1  + 
1
3127, 30eqtrd 2069 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  G `  suc  `' G `  +  1
32 peano2 4261 . . . . . . . 8  `' G `  om  suc  `' G `  om
3326, 32syl 14 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  suc  `' G `  om
34 f1ocnvfv 5362 . . . . . . . 8  G : om -1-1-onto-> ZZ>= `  C  suc  `' G `  om  G `
 suc  `' G `  +  1  `' G `  +  1  suc  `' G `
3524, 34sylan 267 . . . . . . 7  suc  `' G `  om  G `  suc  `' G `  +  1  `' G `  +  1  suc  `' G `
3633, 35syldan 266 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  G `  suc  `' G `  +  1  `' G `  +  1  suc  `' G `
3731, 36mpd 13 . . . . 5 
ZZ>= `  C  `' G `  +  1  suc  `' G `
3837fveq2d 5125 . . . 4 
ZZ>= `  C  R `  `' G `  +  1  R `
 suc  `' G `
3938fveq2d 5125 . . 3 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  `' G `  +  1  2nd `  R `
 suc  `' G `
4023, 39eqtrd 2069 . 2 
ZZ>= `  C  T `  +  1  2nd `  R `  suc  `' G `
41 zex 8010 . . . . . . . . . . 11  ZZ  _V
42 uzssz 8248 . . . . . . . . . . 11  ZZ>= `  C  C_  ZZ
4341, 42ssexi 3886 . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  C  _V
44 mpt2exga 5777 . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  C  _V  S  V  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V
4543, 44mpan 400 . . . . . . . . 9  S  V  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V
46 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
47 fvexg 5137 . . . . . . . . . 10 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V  _V  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `

_V
4846, 47mpan2 401 . . . . . . . . 9  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.  _V  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `  _V
495, 45, 483syl 17 . . . . . . . 8 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. `

_V
5049alrimiv 1751 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `  _V
51 opelxp 4317 . . . . . . . . 9  <. C ,  >.  ZZ  X.  S  C  ZZ  S
521, 6, 51sylanbrc 394 . . . . . . . 8  <. C ,  >.  ZZ  X.  S
5352adantr 261 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  <. C ,  >.  ZZ  X.  S
54 frecsuc 5930 . . . . . . 7  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. `  _V  <. C ,  >.  ZZ  X.  S  `' G `  om frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `  suc  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ` frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  `' G `
5550, 53, 26, 54syl3anc 1134 . . . . . 6 
ZZ>= `  C frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  suc  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ` frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  `' G `
5610fveq1i 5122 . . . . . 6  R `
 suc  `' G ` frec  ZZ>=
`  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `  suc  `' G `
5710fveq1i 5122 . . . . . . 7  R `
 `' G ` frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>. ,  <. C ,  >. `  `' G `
5857fveq2i 5124 . . . . . 6  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
frec  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. ,  <. C ,  >. `  `' G `
5955, 56, 583eqtr4g 2094 . . . . 5 
ZZ>= `  C  R `  suc  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `  R `  `' G `
602, 3, 5, 7, 9, 10, 26frec2uzrdg 8856 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  R `  `' G `  <. G `  `' G `  ,  2nd `  R `  `' G `  >.
6160fveq2d 5125 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. `
 R `  `' G ` 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 <. G `  `' G `  ,  2nd `  R `  `' G `  >.
62 df-ov 5458 . . . . . 6  G `  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >. `
 <. G `  `' G `  ,  2nd `  R `  `' G `  >.
6361, 62syl6eqr 2087 . . . . 5 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. `
 R `  `' G `  G `  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `  `' G `
642, 3, 26frec2uzuzd 8849 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  G `  `' G `  ZZ>= `  C
652, 3, 5, 7, 9, 10frecuzrdgrrn 8855 . . . . . . . 8  ZZ>= `  C  `' G `  om  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S
6626, 65mpdan 398 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S
67 xp2nd 5735 . . . . . . 7  R `  `' G ` 
ZZ>= `  C  X.  S  2nd `  R `  `' G `  S
6866, 67syl 14 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  `' G `  S
6930, 12eqeltrd 2111 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  G `  `' G `  +  1  ZZ>= `  C
709caovclg 5595 . . . . . . . 8  ZZ>= `  C  ZZ>= `  C  S  F  S
7170, 64, 68caovcld 5596 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  S
72 opexg 3955 . . . . . . 7  G `  `' G `  +  1  ZZ>= `  C  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  S  <. G `
 `' G `  + 
1 ,  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >. 
_V
7369, 71, 72syl2anc 391 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  <. G `
 `' G `  + 
1 ,  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >. 
_V
74 oveq1 5462 . . . . . . . 8  G `  `' G `  +  1  G `  `' G `  +  1
75 oveq1 5462 . . . . . . . 8  G `  `' G `  F  G `  `' G `  F
7674, 75opeq12d 3548 . . . . . . 7  G `  `' G `  <.  +  1 ,  F >.  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F >.
77 oveq2 5463 . . . . . . . 8  2nd `  R `  `' G `  G `  `' G `  F  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `
7877opeq2d 3547 . . . . . . 7  2nd `  R `  `' G `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F >.  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.
79 oveq1 5462 . . . . . . . . 9  +  1  + 
1
80 oveq1 5462 . . . . . . . . 9  F  F
8179, 80opeq12d 3548 . . . . . . . 8  <.  +  1 ,  F >.  <.  +  1 ,  F >.
82 oveq2 5463 . . . . . . . . 9  F  F
8382opeq2d 3547 . . . . . . . 8  <.  +  1 ,  F >.  <.  +  1 ,  F >.
8481, 83cbvmpt2v 5526 . . . . . . 7  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  + 
1 ,  F
>.  ZZ>= `  C ,  S  |->  <.  +  1 ,  F >.
8576, 78, 84ovmpt2g 5577 . . . . . 6  G `  `' G `  ZZ>= `  C  2nd `  R `  `' G `  S  <. G `
 `' G `  + 
1 ,  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >. 
_V  G `  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `  `' G `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.
8664, 68, 73, 85syl3anc 1134 . . . . 5 
ZZ>= `  C  G `  `' G `  ZZ>= `  C ,  S  |-> 
<.  +  1 ,  F >. 2nd `  R `  `' G `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.
8759, 63, 863eqtrd 2073 . . . 4 
ZZ>= `  C  R `  suc  `' G `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.
8887fveq2d 5125 . . 3 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  suc  `' G `  2nd `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.
89 op2ndg 5720 . . . 4  G `  `' G `  +  1  ZZ>= `  C  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  S  2nd `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `
9069, 71, 89syl2anc 391 . . 3 
ZZ>= `  C  2nd `  <. G `  `' G `  +  1 ,  G `
 `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  >.  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `
9188, 90eqtrd 2069 . 2 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  suc  `' G `  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `
92 simpr 103 . . . . . . 7 
ZZ>= `  C  ZZ>= `  C
932, 3, 5, 7, 9, 10, 92frecuzrdglem 8858 . . . . . 6 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  ran  R
9493, 15eleqtrrd 2114 . . . . 5 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T
95 funopfv 5156 . . . . . . 7  Fun 
T  <. ,  2nd `  R `  `' G `  >.  T  T `  2nd `  R `  `' G `
9619, 95syl 14 . . . . . 6  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  T `  2nd `  R `  `' G `
9796adantr 261 . . . . 5 
ZZ>= `  C  <. ,  2nd `  R `
 `' G ` 
>.  T  T `  2nd `  R `  `' G `
9894, 97mpd 13 . . . 4 
ZZ>= `  C  T `  2nd `  R `  `' G `
9998eqcomd 2042 . . 3 
ZZ>= `  C  2nd `  R `  `' G `  T `
10029, 99oveq12d 5473 . 2 
ZZ>= `  C  G `  `' G `  F 2nd `  R `  `' G `  F T `
10140, 91, 1003eqtrd 2073 1 
ZZ>= `  C  T `  +  1  F T `
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   ran crn 4289   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845  (class class class)co 5455    |-> cmpt2 5457   2ndc2nd 5708  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694   ZZcz 8001   ZZ>=cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  iseqp1  8884
  Copyright terms: Public domain W3C validator