Theorem iseqp1 9225

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqp1.m	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqp1.ex	|- ( ph -> S e. V )
iseqp1.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqp1.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqp1	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, .+ , y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem iseqp1

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqp1.m	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzel2 8478	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		eqid 2040	. . . 4 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M ) = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , M )
5		iseqp1.ex	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
6		uzid 8487	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8		iseqp1.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
9	8	ralrimiva 2392	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
10		fveq2 5178	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
11	10	eleq1d 2106	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
12	11	rspcv 2652	. . . . 5 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` M ) e. S ) )
13	7, 9, 12	sylc 56	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
14		iseqp1.pl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
15	8, 14	iseqovex 9219	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
16		eqid 2040	. . . 4 |- frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
17	16, 8, 14	iseqval 9220	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( .+ , F , S ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. S |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
18	3, 4, 5, 13, 15, 16, 17	frecuzrdgsuc 9201	. . 3 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
19	1, 18	mpdan 398	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( N + 1 ) ) = ( N ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
20	1, 5, 8, 14	iseqcl 9223	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S )
21		peano2uz 8526	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
22	1, 21	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
23		fveq2 5178	. . . . . . 7 |- ( x = ( N + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
24	23	eleq1d 2106	. . . . . 6 |- ( x = ( N + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( N + 1 ) ) e. S ) )
25	24	rspcv 2652	. . . . 5 |- ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` ( N + 1 ) ) e. S ) )
26	22, 9, 25	sylc 56	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( N + 1 ) ) e. S )
27	14, 20, 26	caovcld 5654	. . 3 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) e. S )
28		oveq1 5519	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( z + 1 ) = ( N + 1 ) )
29	28	fveq2d 5182	. . . . 5 |- ( z = N -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( N + 1 ) ) )
30	29	oveq2d 5528	. . . 4 |- ( z = N -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
31		oveq1 5519	. . . 4 |- ( w = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) -> ( w .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
32		eqid 2040	. . . 4 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
33	30, 31, 32	ovmpt2g 5635	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) e. S /\ ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) e. S ) -> ( N ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
34	1, 20, 27, 33	syl3anc 1135	. 2 |- ( ph -> ( N ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )
35	19, 34	eqtrd 2072	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) .+ ( F ` ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   <.cop 3378   |-> cmpt 3818   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   |-> cmpt2 5514  freccfrec 5977   1c1 6890   + caddc 6892   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212

This theorem is referenced by:  iseqss  9226  iseqm1  9227  iseqfveq2  9228  iseqshft2  9232  isermono  9237  iseqsplit  9238  iseqcaopr3  9240  iseqid3s  9246  iseqhomo  9248  expivallem  9256  expp1  9262  resqrexlemfp1  9607  climserile  9865  ialgrp1  9885