Theorem iseqcaopr3 9240

Description: Lemma for iseqcaopr2 . (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqcaopr3.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqcaopr3.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
iseqcaopr3.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqcaopr3.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
iseqcaopr3.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
iseqcaopr3.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
iseqcaopr3.7	|- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
iseqcaopr3.s	|- ( ph -> S e. V )

Assertion

Ref	Expression
iseqcaopr3	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , n, x, y   k, F, n, x, y   k, G, n, x, y   k, H, n, x, y   k, M, n, x, y   k, N, n, x, y   Q, k, n, x, y   S, k, n, x, y   ph, k, n, x, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   V( x, y, k, n)

Proof of Theorem iseqcaopr3

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqcaopr3.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 8896	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) )
5		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
6		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = M -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) )
7	5, 6	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) )
8	4, 7	eqeq12d 2054	. . . 4 |- ( z = M -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) )
9	8	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = M -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) ) )
10		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) )
11		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
12		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = n -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) )
13	11, 12	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) )
14	10, 13	eqeq12d 2054	. . . 4 |- ( z = n -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) )
15	14	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = n -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) ) )
16		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) )
17		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
18		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) )
19	17, 18	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
20	16, 19	eqeq12d 2054	. . . 4 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
21	20	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
22		fveq2 5178	. . . . 5 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) )
23		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
24		fveq2 5178	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) = ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) )
25	23, 24	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2054	. . . 4 |- ( z = N -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) <-> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) )
27	26	imbi2d 219	. . 3 |- ( z = N -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` z ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` z ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) ) )
28		eluzel2 8478	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
29	1, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
30		uzid 8487	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
32		iseqcaopr3.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
33	32	ralrimiva 2392	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
34		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( H ` k ) = ( H ` M ) )
35		fveq2 5178	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
36		fveq2 5178	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( G ` k ) = ( G ` M ) )
37	35, 36	oveq12d 5530	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
38	34, 37	eqeq12d 2054	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
39	38	rspcv 2652	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) ) )
40	31, 33, 39	sylc 56	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` M ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
41		iseqcaopr3.s	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. V )
42		iseqcaopr3.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
43	42	ralrimivva 2401	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
44	43	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S )
45		iseqcaopr3.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
46		iseqcaopr3.5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
47		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( F ` k ) -> ( x Q y ) = ( ( F ` k ) Q y ) )
48	47	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( F ` k ) -> ( ( x Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q y ) e. S ) )
49		oveq2 5520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( F ` k ) Q y ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
50	49	eleq1d 2106	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` k ) Q y ) e. S <-> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
51	48, 50	rspc2v 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. S /\ ( G ` k ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
52	45, 46, 51	syl2anc 391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( x Q y ) e. S -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S ) )
53	44, 52	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) e. S )
54	32, 53	eqeltrd 2114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) e. S )
55	54	ralrimiva 2392	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S )
56		fveq2 5178	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( H ` k ) = ( H ` x ) )
57	56	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( ( H ` k ) e. S <-> ( H ` x ) e. S ) )
58	57	rspcv 2652	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) e. S -> ( H ` x ) e. S ) )
59	55, 58	mpan9 265	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
60		iseqcaopr3.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
61	29, 41, 59, 60	iseq1 9222	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( H ` M ) )
62	45	ralrimiva 2392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S )
63		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( F ` k ) = ( F ` x ) )
64	63	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( F ` k ) e. S <-> ( F ` x ) e. S ) )
65	64	rspcv 2652	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` k ) e. S -> ( F ` x ) e. S ) )
66	62, 65	mpan9 265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
67	29, 41, 66, 60	iseq1 9222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
68	46	ralrimiva 2392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S )
69		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( k = x -> ( G ` k ) = ( G ` x ) )
70	69	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( ( G ` k ) e. S <-> ( G ` x ) e. S ) )
71	70	rspcv 2652	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( G ` k ) e. S -> ( G ` x ) e. S ) )
72	68, 71	mpan9 265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
73	29, 41, 72, 60	iseq1 9222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) = ( G ` M ) )
74	67, 73	oveq12d 5530	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) = ( ( F ` M ) Q ( G ` M ) ) )
75	40, 61, 74	3eqtr4d 2082	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) )
76	75	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` M ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` M ) ) ) )
77		oveq1 5519	. . . . . 6 |- ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
78		elfzouz 9008	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( M..^ N ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
79	78	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
80	41	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> S e. V )
81	59	adantlr 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` x ) e. S )
82	60	adantlr 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
83	79, 80, 81, 82	iseqp1 9225	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
84		iseqcaopr3.7	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
85		fzofzp1 9083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
86		elfzuz 8886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
88	87	adantl 262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
89	33	adantr 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) )
90		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( H ` k ) = ( H ` ( n + 1 ) ) )
91		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
92		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` k ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
93	91, 92	oveq12d 5530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
94	90, 93	eqeq12d 2054	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) <-> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
95	94	rspcv 2652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` k ) = ( ( F ` k ) Q ( G ` k ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
96	88, 89, 95	sylc 56	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( H ` ( n + 1 ) ) = ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
97	96	oveq2d 5528	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( ( F ` ( n + 1 ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
98	66	adantlr 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
99	79, 80, 98, 82	iseqp1 9225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
100	72	adantlr 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
101	79, 80, 100, 82	iseqp1 9225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
102	99, 101	oveq12d 5530	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) Q ( ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) .+ ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
103	84, 97, 102	3eqtr4rd 2083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) )
104	83, 103	eqeq12d 2054	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) .+ ( H ` ( n + 1 ) ) ) ) )
105	77, 104	syl5ibr 145	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M..^ N ) ) -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
106	105	expcom 109	. . . 4 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ph -> ( ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
107	106	a2d 23	. . 3 |- ( n e. ( M..^ N ) -> ( ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` n ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` n ) ) ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
108	9, 15, 21, 27, 76, 107	fzind2 9095	. 2 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) ) )
109	3, 108	mpcom 32	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H , S ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) Q ( seq M ( .+ , G , S ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1c1 6890   + caddc 6892   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874  ..^cfzo 8999   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-fzo 9000  df-iseq 9212

This theorem is referenced by:  iseqcaopr2  9241