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Theorem iseqsplit 9238
Description: Split a sequence into two sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqsplit.1 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqsplit.2 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
iseqsplit.3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
iseqsplit.s |- ( ph -> S e. V )
iseqsplit.4 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
iseqsplit.5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
Assertion
Ref Expression
iseqsplit |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, F   x, K, y, z   x, M, y, z   ph, x, y, z   x, N, y, z   x, .+ , y, z   x, S, y, z
Allowed substitution hints:   V( x, y, z)
Proof of Theorem iseqsplit
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqsplit.3 . . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
2 eluzfz2 8896 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
31, 2syl 14 . 2 |- ( ph -> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
4 eleq1 2100 . . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5 fveq2 5178 . . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) )
6 fveq2 5178 . . . . . . . 8 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) )
76oveq2d 5528 . . . . . . 7 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) )
85, 7eqeq12d 2054 . . . . . 6 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
94, 8imbi12d 223 . . . . 5 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
109imbi2d 219 . . . 4 |- ( x = ( M + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) ) )
11 eleq1 2100 . . . . . 6 |- ( x = n -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
12 fveq2 5178 . . . . . . 7 |- ( x = n -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) )
13 fveq2 5178 . . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) )
1413oveq2d 5528 . . . . . . 7 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2054 . . . . . 6 |- ( x = n -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) )
1611, 15imbi12d 223 . . . . 5 |- ( x = n -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) )
1716imbi2d 219 . . . 4 |- ( x = n -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) ) )
18 eleq1 2100 . . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
19 fveq2 5178 . . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
20 fveq2 5178 . . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
2120oveq2d 5528 . . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
2219, 21eqeq12d 2054 . . . . . 6 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
2318, 22imbi12d 223 . . . . 5 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
2423imbi2d 219 . . . 4 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2100 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) <-> N e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
26 fveq2 5178 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) )
27 fveq2 5178 . . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) = ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) )
2827oveq2d 5528 . . . . . . 7 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
2926, 28eqeq12d 2054 . . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) <-> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) )
3025, 29imbi12d 223 . . . . 5 |- ( x = N -> ( ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) <-> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) ) )
3130imbi2d 219 . . . 4 |- ( x = N -> ( ( ph -> ( x e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` x ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` x ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) ) ) )
32 iseqsplit.4 . . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
33 iseqsplit.s . . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. V )
34 iseqsplit.5 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
35 iseqsplit.1 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
3632, 33, 34, 35iseqp1 9225 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
37 eluzel2 8478 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( M + 1 ) e. ZZ )
381, 37syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ZZ )
39 eluzelz 8482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> M e. ZZ )
4032, 39syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
41 peano2uzr 8528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
4240, 41sylan 267 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
4332adantr 261 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` K ) )
44 uztrn 8489 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ M e. ( ZZ>= ` K ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
4542, 43, 44syl2anc 391 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
4645, 34syldan 266 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
4738, 33, 46, 35iseq1 9222 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( F ` ( M + 1 ) ) )
4847oveq2d 5528 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( F ` ( M + 1 ) ) ) )
4936, 48eqtr4d 2075 . . . . . 6 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) )
5049a1d 22 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) )
5150a1i 9 . . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. ZZ -> ( ph -> ( ( M + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( M + 1 ) ) ) ) ) )
52 peano2fzr 8901 . . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
5352adantl 262 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
5453expr 357 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> n e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
5554imim1d 69 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) )
56 oveq1 5519 . . . . . . . . . 10 |- ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
57 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) )
58 peano2uz 8526 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ( ZZ>= ` K ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
5932, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
6059adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) )
61 uztrn 8489 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
6257, 60, 61syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` K ) )
6333adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> S e. V )
6434adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` K ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6535adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
6662, 63, 64, 65iseqp1 9225 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
6746adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6857, 63, 67, 65iseqp1 9225 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
6968oveq2d 5528 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
70 simpl 102 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ph )
7132, 33, 34, 35iseqcl 9223 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) e. S )
7271adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) e. S )
7357, 63, 67, 65iseqcl 9223 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
74 fzss1 8926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` K ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
7532, 58, 743syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) )
76 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
77 ssel2 2940 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( K ... N ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( n + 1 ) e. ( K ... N ) )
7875, 76, 77syl2an 273 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( K ... N ) )
79 elfzuz 8886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( K ... N ) -> x e. ( ZZ>= ` K ) )
8079, 34sylan2 270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( K ... N ) ) -> ( F ` x ) e. S )
8180ralrimiva 2392 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S )
8281adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S )
83 fveq2 5178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
8483eleq1d 2106 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
8584rspcv 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n + 1 ) e. ( K ... N ) -> ( A. x e. ( K ... N ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
8678, 82, 85sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
87 iseqsplit.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
8887caovassg 5659 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) e. S /\ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
8970, 72, 73, 86, 88syl13anc 1137 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
9069, 89eqtr4d 2075 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
9166, 90eqeq12d 2054 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
9256, 91syl5ibr 145 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) /\ ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
9392expr 357 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
9493a2d 23 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
9555, 94syld 40 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
9695expcom 109 . . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
9796a2d 23 . . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ( ph -> ( n e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` n ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` n ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) ) ) )
9810, 17, 24, 31, 51, 97uzind4 8531 . . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) -> ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) ) )
991, 98mpcom 32 . 2 |- ( ph -> ( N e. ( ( M + 1 ) ... N ) -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) ) )
1003, 99mpd 13 1 |- ( ph -> ( seq K ( .+ , F , S ) ` N ) = ( ( seq K ( .+ , F , S ) ` M ) .+ ( seq ( M + 1 ) ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   C_ wss 2917   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   1c1 6890   + caddc 6892   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874   seqcseq 9211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-iseq 9212
This theorem is referenced by:  iseq1p  9239  clim2iser  9857  clim2iser2  9858
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