Theorem iseqp1 8904

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqp1.m	⊢ (φ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqp1.ex	⊢ (φ → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqp1.f	⊢ ((φ ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘x) ∈ 𝑆)
iseqp1.pl	⊢ ((φ ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x + y) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqp1	⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   x,y,𝐹   x, + ,y   x,𝑀,y   x,𝑁,y   x,𝑆,y   φ,x,y

Allowed substitution hints:   𝑉(x,y)

Proof of Theorem iseqp1

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqp1.m	. . 3 ⊢ (φ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzel2 8254	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (φ → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqid 2037	. . . 4 ⊢ frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝑀) = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝑀)
5		iseqp1.ex	. . . 4 ⊢ (φ → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		uzid 8263	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	3, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (φ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		iseqp1.f	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘x) ∈ 𝑆)
9	8	ralrimiva 2386	. . . . 5 ⊢ (φ → ∀x ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘x) ∈ 𝑆)
10		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (x = 𝑀 → (𝐹‘x) = (𝐹‘𝑀))
11	10	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (x = 𝑀 → ((𝐹‘x) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
12	11	rspcv 2646	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀x ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘x) ∈ 𝑆 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
13	7, 9, 12	sylc 56	. . . 4 ⊢ (φ → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
14		iseqp1.pl	. . . . 5 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x + y) ∈ 𝑆)
15	8, 14	iseqovex 8899	. . . 4 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ y ∈ 𝑆)) → (x(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) ∈ 𝑆)
16		eqid 2037	. . . 4 ⊢ frec((x ∈ (ℤ≥‘𝑀), y ∈ 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((x ∈ (ℤ≥‘𝑀), y ∈ 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
17	16, 8, 14	iseqval 8900	. . . 4 ⊢ (φ → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((x ∈ (ℤ≥‘𝑀), y ∈ 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
18	3, 4, 5, 13, 15, 16, 17	frecuzrdgsuc 8882	. . 3 ⊢ ((φ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
19	1, 18	mpdan 398	. 2 ⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
20	1, 5, 8, 14	iseqcl 8903	. . 3 ⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆)
21		peano2uz 8302	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
22	1, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ (φ → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
23		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (x = (𝑁 + 1) → (𝐹‘x) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
24	23	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (x = (𝑁 + 1) → ((𝐹‘x) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆))
25	24	rspcv 2646	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀x ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘x) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆))
26	22, 9, 25	sylc 56	. . . 4 ⊢ (φ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆)
27	14, 20, 26	caovcld 5596	. . 3 ⊢ (φ → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆)
28		oveq1 5462	. . . . . 6 ⊢ (z = 𝑁 → (z + 1) = (𝑁 + 1))
29	28	fveq2d 5125	. . . . 5 ⊢ (z = 𝑁 → (𝐹‘(z + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
30	29	oveq2d 5471	. . . 4 ⊢ (z = 𝑁 → (w + (𝐹‘(z + 1))) = (w + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
31		oveq1 5462	. . . 4 ⊢ (w = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) → (w + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
32		eqid 2037	. . . 4 ⊢ (z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1)))) = (z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))
33	30, 31, 32	ovmpt2g 5577	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑁(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
34	1, 20, 27, 33	syl3anc 1134	. 2 ⊢ (φ → (𝑁(z ∈ (ℤ≥‘𝑀), w ∈ 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
35	19, 34	eqtrd 2069	1 ⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ⟨cop 3370   ↦ cmpt 3809  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455   ↦ cmpt2 5457  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249  seqcseq 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893

This theorem is referenced by:  iseqfveq2  8905  expivallem  8910  expp1  8916