ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqp1 Structured version   GIF version

Theorem iseqp1 8864
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqp1.m (φ𝑁 (ℤ𝑀))
iseqp1.ex (φ𝑆 𝑉)
iseqp1.f ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
iseqp1.pl ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqp1 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   x,y,𝐹   x, + ,y   x,𝑀,y   x,𝑁,y   x,𝑆,y   φ,x,y
Allowed substitution hints:   𝑉(x,y)

Proof of Theorem iseqp1
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqp1.m . . 3 (φ𝑁 (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8214 . . . . 5 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (φ𝑀 ℤ)
4 eqid 2037 . . . 4 frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝑀) = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝑀)
5 iseqp1.ex . . . 4 (φ𝑆 𝑉)
6 uzid 8223 . . . . . 6 (𝑀 ℤ → 𝑀 (ℤ𝑀))
73, 6syl 14 . . . . 5 (φ𝑀 (ℤ𝑀))
8 iseqp1.f . . . . . 6 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
98ralrimiva 2386 . . . . 5 (φx (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆)
10 fveq2 5121 . . . . . . 7 (x = 𝑀 → (𝐹x) = (𝐹𝑀))
1110eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = 𝑀 → ((𝐹x) 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) 𝑆))
1211rspcv 2646 . . . . 5 (𝑀 (ℤ𝑀) → (x (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆 → (𝐹𝑀) 𝑆))
137, 9, 12sylc 56 . . . 4 (φ → (𝐹𝑀) 𝑆)
14 iseqp1.pl . . . . 5 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
158, 14iseqovex 8859 . . . 4 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) 𝑆)
16 eqid 2037 . . . 4 frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
1716, 8, 14iseqval 8860 . . . 4 (φ → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((x (ℤ𝑀), y 𝑆 ↦ ⟨(x + 1), (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
183, 4, 5, 13, 15, 16, 17frecuzrdgsuc 8842 . . 3 ((φ 𝑁 (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
191, 18mpdan 398 . 2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
201, 5, 8, 14iseqcl 8863 . . 3 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) 𝑆)
21 peano2uz 8262 . . . . . 6 (𝑁 (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) (ℤ𝑀))
221, 21syl 14 . . . . 5 (φ → (𝑁 + 1) (ℤ𝑀))
23 fveq2 5121 . . . . . . 7 (x = (𝑁 + 1) → (𝐹x) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2423eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = (𝑁 + 1) → ((𝐹x) 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) 𝑆))
2524rspcv 2646 . . . . 5 ((𝑁 + 1) (ℤ𝑀) → (x (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) 𝑆))
2622, 9, 25sylc 56 . . . 4 (φ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) 𝑆)
2714, 20, 26caovcld 5596 . . 3 (φ → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) 𝑆)
28 oveq1 5462 . . . . . 6 (z = 𝑁 → (z + 1) = (𝑁 + 1))
2928fveq2d 5125 . . . . 5 (z = 𝑁 → (𝐹‘(z + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
3029oveq2d 5471 . . . 4 (z = 𝑁 → (w + (𝐹‘(z + 1))) = (w + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
31 oveq1 5462 . . . 4 (w = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) → (w + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
32 eqid 2037 . . . 4 (z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1)))) = (z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))
3330, 31, 32ovmpt2g 5577 . . 3 ((𝑁 (ℤ𝑀) (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) 𝑆 ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) 𝑆) → (𝑁(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
341, 20, 27, 33syl3anc 1134 . 2 (φ → (𝑁(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
3519, 34eqtrd 2069 1 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cop 3370  cmpt 3809  cfv 4845  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  freccfrec 5917  1c1 6672   + caddc 6674  cz 7981  cuz 8209  seqcseq 8852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210  df-iseq 8853
This theorem is referenced by:  iseqfveq2  8865  expivallem  8870  expp1  8876
  Copyright terms: Public domain W3C validator