Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqp1 GIF version

Theorem iseqp1 9225
 Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqp1.m (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqp1.ex (𝜑𝑆𝑉)
iseqp1.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqp1.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqp1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem iseqp1
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqp1.m . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8478 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 eqid 2040 . . . 4 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝑀)
5 iseqp1.ex . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
6 uzid 8487 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
73, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8 iseqp1.f . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
98ralrimiva 2392 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
10 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
1110eleq1d 2106 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
1211rspcv 2652 . . . . 5 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
137, 9, 12sylc 56 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
14 iseqp1.pl . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
158, 14iseqovex 9219 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
16 eqid 2040 . . . 4 frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
1716, 8, 14iseqval 9220 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) = ran frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦𝑆 ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
183, 4, 5, 13, 15, 16, 17frecuzrdgsuc 9201 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
191, 18mpdan 398 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)))
201, 5, 8, 14iseqcl 9223 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆)
21 peano2uz 8526 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
221, 21syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
23 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2423eleq1d 2106 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆))
2524rspcv 2652 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆))
2622, 9, 25sylc 56 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝑆)
2714, 20, 26caovcld 5654 . . 3 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆)
28 oveq1 5519 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑁 → (𝑧 + 1) = (𝑁 + 1))
2928fveq2d 5182 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
3029oveq2d 5528 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
31 oveq1 5519 . . . 4 (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
32 eqid 2040 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3330, 31, 32ovmpt2g 5635 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) ∈ 𝑆 ∧ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
341, 20, 27, 33syl3anc 1135 . 2 (𝜑 → (𝑁(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
3519, 34eqtrd 2072 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ⟨cop 3378   ↦ cmpt 3818  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212 This theorem is referenced by:  iseqss  9226  iseqm1  9227  iseqfveq2  9228  iseqshft2  9232  isermono  9237  iseqsplit  9238  iseqcaopr3  9240  iseqid3s  9246  iseqhomo  9248  expivallem  9256  expp1  9262  resqrexlemfp1  9607  climserile  9865  ialgrp1  9885
 Copyright terms: Public domain W3C validator