Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfveq2 Structured version   GIF version

Theorem iseqfveq2 8885
 Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq2.1 (φ𝐾 (ℤ𝑀))
iseqfveq2.2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
iseqfveq2.s (φ𝑆 𝑉)
iseqfveq2.f ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
iseqfveq2.g ((φ x (ℤ𝐾)) → (𝐺x) 𝑆)
iseqfveq2.pl ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
iseqfveq2.3 (φ𝑁 (ℤ𝐾))
iseqfveq2.4 ((φ 𝑘 ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iseqfveq2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
Distinct variable groups:   x,𝑘,y,𝐹   𝑘,𝐺,x,y   𝑘,𝐾,x,y   𝑘,𝑁,x,y   φ,𝑘,x,y   𝑘,𝑀,x,y   + ,𝑘,x,y   𝑆,𝑘,x,y
Allowed substitution hints:   𝑉(x,y,𝑘)

Proof of Theorem iseqfveq2
Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfveq2.3 . . 3 (φ𝑁 (ℤ𝐾))
2 eluzfz2 8646 . . 3 (𝑁 (ℤ𝐾) → 𝑁 (𝐾...𝑁))
31, 2syl 14 . 2 (φ𝑁 (𝐾...𝑁))
4 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = 𝐾 → (z (𝐾...𝑁) ↔ 𝐾 (𝐾...𝑁)))
5 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾))
6 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = 𝐾 → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))
75, 6eqeq12d 2051 . . . . . 6 (z = 𝐾 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾)))
84, 7imbi12d 223 . . . . 5 (z = 𝐾 → ((z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ (𝐾 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))))
98imbi2d 219 . . . 4 (z = 𝐾 → ((φ → (z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → (𝐾 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾)))))
10 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = w → (z (𝐾...𝑁) ↔ w (𝐾...𝑁)))
11 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = w → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w))
12 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = w → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))
1311, 12eqeq12d 2051 . . . . . 6 (z = w → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)))
1410, 13imbi12d 223 . . . . 5 (z = w → ((z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ (w (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))))
1514imbi2d 219 . . . 4 (z = w → ((φ → (z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → (w (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)))))
16 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = (w + 1) → (z (𝐾...𝑁) ↔ (w + 1) (𝐾...𝑁)))
17 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = (w + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)))
18 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = (w + 1) → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))
1917, 18eqeq12d 2051 . . . . . 6 (z = (w + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))
2016, 19imbi12d 223 . . . . 5 (z = (w + 1) → ((z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
2120imbi2d 219 . . . 4 (z = (w + 1) → ((φ → (z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))))
22 eleq1 2097 . . . . . 6 (z = 𝑁 → (z (𝐾...𝑁) ↔ 𝑁 (𝐾...𝑁)))
23 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = 𝑁 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁))
24 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = 𝑁 → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
2523, 24eqeq12d 2051 . . . . . 6 (z = 𝑁 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
2622, 25imbi12d 223 . . . . 5 (z = 𝑁 → ((z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ (𝑁 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))))
2726imbi2d 219 . . . 4 (z = 𝑁 → ((φ → (z (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → (𝑁 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))))
28 iseqfveq2.2 . . . . . . 7 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
29 iseqfveq2.1 . . . . . . . . 9 (φ𝐾 (ℤ𝑀))
30 eluzelz 8238 . . . . . . . . 9 (𝐾 (ℤ𝑀) → 𝐾 ℤ)
3129, 30syl 14 . . . . . . . 8 (φ𝐾 ℤ)
32 iseqfveq2.s . . . . . . . 8 (φ𝑆 𝑉)
33 iseqfveq2.g . . . . . . . 8 ((φ x (ℤ𝐾)) → (𝐺x) 𝑆)
34 iseqfveq2.pl . . . . . . . 8 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
3531, 32, 33, 34iseq1 8882 . . . . . . 7 (φ → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
3628, 35eqtr4d 2072 . . . . . 6 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))
3736a1d 22 . . . . 5 (φ → (𝐾 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾)))
3837a1i 9 . . . 4 (𝐾 ℤ → (φ → (𝐾 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))))
39 peano2fzr 8651 . . . . . . . . . 10 ((w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁)) → w (𝐾...𝑁))
4039adantl 262 . . . . . . . . 9 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → w (𝐾...𝑁))
4140expr 357 . . . . . . . 8 ((φ w (ℤ𝐾)) → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → w (𝐾...𝑁)))
4241imim1d 69 . . . . . . 7 ((φ w (ℤ𝐾)) → ((w (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))))
43 oveq1 5462 . . . . . . . . . 10 ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))))
44 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → w (ℤ𝐾))
4529adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → 𝐾 (ℤ𝑀))
46 uztrn 8245 . . . . . . . . . . . . 13 ((w (ℤ𝐾) 𝐾 (ℤ𝑀)) → w (ℤ𝑀))
4744, 45, 46syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → w (ℤ𝑀))
4832adantr 261 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → 𝑆 𝑉)
49 iseqfveq2.f . . . . . . . . . . . . 13 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
5049adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 (((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
5134adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12 (((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
5247, 48, 50, 51iseqp1 8884 . . . . . . . . . . 11 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))))
5333adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13 (((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) x (ℤ𝐾)) → (𝐺x) 𝑆)
5444, 48, 53, 51iseqp1 8884 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐺‘(w + 1))))
55 eluzp1p1 8254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (w (ℤ𝐾) → (w + 1) (ℤ‘(𝐾 + 1)))
5655ad2antrl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → (w + 1) (ℤ‘(𝐾 + 1)))
57 elfzuz3 8637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((w + 1) (𝐾...𝑁) → 𝑁 (ℤ‘(w + 1)))
5857ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → 𝑁 (ℤ‘(w + 1)))
59 elfzuzb 8634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((w + 1) ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((w + 1) (ℤ‘(𝐾 + 1)) 𝑁 (ℤ‘(w + 1))))
6056, 58, 59sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → (w + 1) ((𝐾 + 1)...𝑁))
61 iseqfveq2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((φ 𝑘 ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6261ralrimiva 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (φ𝑘 ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
6362adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → 𝑘 ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
64 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (w + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(w + 1)))
65 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (w + 1) → (𝐺𝑘) = (𝐺‘(w + 1)))
6664, 65eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (w + 1) → ((𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) ↔ (𝐹‘(w + 1)) = (𝐺‘(w + 1))))
6766rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((w + 1) ((𝐾 + 1)...𝑁) → (𝑘 ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝐹𝑘) = (𝐺𝑘) → (𝐹‘(w + 1)) = (𝐺‘(w + 1))))
6860, 63, 67sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → (𝐹‘(w + 1)) = (𝐺‘(w + 1)))
6968oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐺‘(w + 1))))
7054, 69eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . 11 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))))
7152, 70eqeq12d 2051 . . . . . . . . . 10 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)) ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1)))))
7243, 71syl5ibr 145 . . . . . . . . 9 ((φ (w (ℤ𝐾) (w + 1) (𝐾...𝑁))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))
7372expr 357 . . . . . . . 8 ((φ w (ℤ𝐾)) → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
7473a2d 23 . . . . . . 7 ((φ w (ℤ𝐾)) → (((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
7542, 74syld 40 . . . . . 6 ((φ w (ℤ𝐾)) → ((w (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
7675expcom 109 . . . . 5 (w (ℤ𝐾) → (φ → ((w (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))))
7776a2d 23 . . . 4 (w (ℤ𝐾) → ((φ → (w (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))) → (φ → ((w + 1) (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))))
789, 15, 21, 27, 38, 77uzind4 8287 . . 3 (𝑁 (ℤ𝐾) → (φ → (𝑁 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))))
791, 78mpcom 32 . 2 (φ → (𝑁 (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
803, 79mpd 13 1 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6692   + caddc 6694  ℤcz 8001  ℤ≥cuz 8229  ...cfz 8624  seqcseq 8872 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230  df-fz 8625  df-iseq 8873 This theorem is referenced by:  iseqfeq2  8886  iseqfveq  8887
 Copyright terms: Public domain W3C validator