Theorem iseqfveq2 8905

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq2.1	⊢ (φ → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
iseqfveq2.2	⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
iseqfveq2.s	⊢ (φ → 𝑆 ∈ 𝑉)
iseqfveq2.f	⊢ ((φ ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘x) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.g	⊢ ((φ ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘x) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.pl	⊢ ((φ ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x + y) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.3	⊢ (φ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
iseqfveq2.4	⊢ ((φ ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
iseqfveq2	⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))

Distinct variable groups:   x,𝑘,y,𝐹   𝑘,𝐺,x,y   𝑘,𝐾,x,y   𝑘,𝑁,x,y   φ,𝑘,x,y   𝑘,𝑀,x,y   + ,𝑘,x,y   𝑆,𝑘,x,y

Allowed substitution hints:   𝑉(x,y,𝑘)

Proof of Theorem iseqfveq2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq2.3	. . 3 ⊢ (φ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		eluzfz2 8666	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → 𝑁 ∈ (𝐾...𝑁))
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (φ → 𝑁 ∈ (𝐾...𝑁))
4		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (z = 𝐾 → (z ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (𝐾...𝑁)))
5		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾))
6		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = 𝐾 → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))
7	5, 6	eqeq12d 2051	. . . . . 6 ⊢ (z = 𝐾 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾)))
8	4, 7	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (z = 𝐾 → ((z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ (𝐾 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))))
9	8	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (z = 𝐾 → ((φ → (z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → (𝐾 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾)))))
10		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (z = w → (z ∈ (𝐾...𝑁) ↔ w ∈ (𝐾...𝑁)))
11		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = w → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w))
12		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = w → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))
13	11, 12	eqeq12d 2051	. . . . . 6 ⊢ (z = w → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)))
14	10, 13	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (z = w → ((z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ (w ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))))
15	14	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (z = w → ((φ → (z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → (w ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)))))
16		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (z = (w + 1) → (z ∈ (𝐾...𝑁) ↔ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁)))
17		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = (w + 1) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)))
18		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = (w + 1) → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))
19	17, 18	eqeq12d 2051	. . . . . 6 ⊢ (z = (w + 1) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))
20	16, 19	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (z = (w + 1) → ((z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
21	20	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (z = (w + 1) → ((φ → (z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))))
22		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (z = 𝑁 → (z ∈ (𝐾...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝐾...𝑁)))
23		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = 𝑁 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁))
24		fveq2 5121	. . . . . . 7 ⊢ (z = 𝑁 → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))
25	23, 24	eqeq12d 2051	. . . . . 6 ⊢ (z = 𝑁 → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
26	22, 25	imbi12d 223	. . . . 5 ⊢ (z = 𝑁 → ((z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))))
27	26	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (z = 𝑁 → ((φ → (z ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))) ↔ (φ → (𝑁 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))))
28		iseqfveq2.2	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
29		iseqfveq2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (φ → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		eluzelz 8258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → 𝐾 ∈ ℤ)
32		iseqfveq2.s	. . . . . . . 8 ⊢ (φ → 𝑆 ∈ 𝑉)
33		iseqfveq2.g	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘x) ∈ 𝑆)
34		iseqfveq2.pl	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x + y) ∈ 𝑆)
35	31, 32, 33, 34	iseq1 8902	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺‘𝐾))
36	28, 35	eqtr4d 2072	. . . . . 6 ⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))
37	36	a1d 22	. . . . 5 ⊢ (φ → (𝐾 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾)))
38	37	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (φ → (𝐾 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝐾))))
39		peano2fzr 8671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁)) → w ∈ (𝐾...𝑁))
40	39	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → w ∈ (𝐾...𝑁))
41	40	expr 357	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ w ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → w ∈ (𝐾...𝑁)))
42	41	imim1d 69	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ w ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((w ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))))
43		oveq1 5462	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))))
44		simprl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → w ∈ (ℤ≥‘𝐾))
45	29	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
46		uztrn 8265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → w ∈ (ℤ≥‘𝑀))
47	44, 45, 46	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → w ∈ (ℤ≥‘𝑀))
48	32	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑆 ∈ 𝑉)
49		iseqfveq2.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘x) ∈ 𝑆)
50	49	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘x) ∈ 𝑆)
51	34	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) ∧ (x ∈ 𝑆 ∧ y ∈ 𝑆)) → (x + y) ∈ 𝑆)
52	47, 48, 50, 51	iseqp1 8904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))))
53	33	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) ∧ x ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (𝐺‘x) ∈ 𝑆)
54	44, 48, 53, 51	iseqp1 8904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐺‘(w + 1))))
55		eluzp1p1 8274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (w + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
56	55	ad2antrl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → (w + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)))
57		elfzuz3 8657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(w + 1)))
58	57	ad2antll 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(w + 1)))
59		elfzuzb 8654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((w + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) ↔ ((w + 1) ∈ (ℤ≥‘(𝐾 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(w + 1))))
60	56, 58, 59	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → (w + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
61		iseqfveq2.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((φ ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
62	61	ralrimiva 2386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (φ → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
63	62	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
64		fveq2 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (w + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(w + 1)))
65		fveq2 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (w + 1) → (𝐺‘𝑘) = (𝐺‘(w + 1)))
66	64, 65	eqeq12d 2051	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (w + 1) → ((𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) ↔ (𝐹‘(w + 1)) = (𝐺‘(w + 1))))
67	66	rspcv 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘) → (𝐹‘(w + 1)) = (𝐺‘(w + 1))))
68	60, 63, 67	sylc 56	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → (𝐹‘(w + 1)) = (𝐺‘(w + 1)))
69	68	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐺‘(w + 1))))
70	54, 69	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))))
71	52, 70	eqeq12d 2051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)) ↔ ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1))) = ((seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) + (𝐹‘(w + 1)))))
72	43, 71	syl5ibr 145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((φ ∧ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ (w + 1) ∈ (𝐾...𝑁))) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))
73	72	expr 357	. . . . . . . 8 ⊢ ((φ ∧ w ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
74	73	a2d 23	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ w ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → (((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
75	42, 74	syld 40	. . . . . 6 ⊢ ((φ ∧ w ∈ (ℤ≥‘𝐾)) → ((w ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1)))))
76	75	expcom 109	. . . . 5 ⊢ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (φ → ((w ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w)) → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))))
77	76	a2d 23	. . . 4 ⊢ (w ∈ (ℤ≥‘𝐾) → ((φ → (w ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘w) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘w))) → (φ → ((w + 1) ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘(w + 1)) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘(w + 1))))))
78	9, 15, 21, 27, 38, 77	uzind4 8307	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝐾) → (φ → (𝑁 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))))
79	1, 78	mpcom 32	. 2 ⊢ (φ → (𝑁 ∈ (𝐾...𝑁) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁)))
80	3, 79	mpd 13	1 ⊢ (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249  ...cfz 8644  seqcseq 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-iseq 8893

This theorem is referenced by:  iseqfeq2  8906  iseqfveq  8907