ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfeq2 GIF version

Theorem iseqfeq2 9107
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
iseqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
iseqfveq2.s (𝜑𝑆𝑉)
iseqfveq2.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iseqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem iseqfeq2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfveq2.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8450 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 iseqfveq2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
5 iseqfveq2.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 iseqfveq2.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6iseqfn 9099 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀))
8 uzss 8465 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
91, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
10 fnssres 4999 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
117, 9, 10syl2anc 391 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
12 eluzelz 8454 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
131, 12syl 14 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
14 iseqfveq2.g . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
1513, 4, 14, 6iseqfn 9099 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ𝐾))
16 fvres 5185 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
1716adantl 262 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
181adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
19 iseqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
2019adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
214adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑆𝑉)
225adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2314adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
246adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25 simpr 103 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝐾))
26 elfzuz 8853 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
27 iseqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2826, 27sylan2 270 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2928adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3018, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 29iseqfveq2 9106 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
3117, 30eqtrd 2072 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
3211, 15, 31eqfnfvd 5255 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  wss 2914  cres 4334   Fn wfn 4884  cfv 4889  (class class class)co 5499  1c1 6871   + caddc 6873  cz 8217  cuz 8445  ...cfz 8841  seqcseq 9089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4166  ax-setind 4256  ax-iinf 4298  ax-cnex 6956  ax-resscn 6957  ax-1cn 6958  ax-1re 6959  ax-icn 6960  ax-addcl 6961  ax-addrcl 6962  ax-mulcl 6963  ax-addcom 6965  ax-addass 6967  ax-distr 6969  ax-i2m1 6970  ax-0id 6973  ax-rnegex 6974  ax-cnre 6976  ax-pre-ltirr 6977  ax-pre-ltwlin 6978  ax-pre-lttrn 6979  ax-pre-ltadd 6981
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4099  df-on 4101  df-suc 4104  df-iom 4301  df-xp 4338  df-rel 4339  df-cnv 4340  df-co 4341  df-dm 4342  df-rn 4343  df-res 4344  df-ima 4345  df-iota 4854  df-fun 4891  df-fn 4892  df-f 4893  df-f1 4894  df-fo 4895  df-f1o 4896  df-fv 4897  df-riota 5455  df-ov 5502  df-oprab 5503  df-mpt2 5504  df-1st 5754  df-2nd 5755  df-recs 5907  df-irdg 5944  df-frec 5965  df-1o 5988  df-2o 5989  df-oadd 5992  df-omul 5993  df-er 6093  df-ec 6095  df-qs 6099  df-ni 6383  df-pli 6384  df-mi 6385  df-lti 6386  df-plpq 6423  df-mpq 6424  df-enq 6426  df-nqqs 6427  df-plqqs 6428  df-mqqs 6429  df-1nqqs 6430  df-rq 6431  df-ltnqqs 6432  df-enq0 6503  df-nq0 6504  df-0nq0 6505  df-plq0 6506  df-mq0 6507  df-inp 6545  df-i1p 6546  df-iplp 6547  df-iltp 6549  df-enr 6792  df-nr 6793  df-ltr 6796  df-0r 6797  df-1r 6798  df-0 6877  df-1 6878  df-r 6880  df-lt 6883  df-pnf 7042  df-mnf 7043  df-xr 7044  df-ltxr 7045  df-le 7046  df-sub 7164  df-neg 7165  df-inn 7891  df-n0 8154  df-z 8218  df-uz 8446  df-fz 8842  df-iseq 9090
This theorem is referenced by:  iseqid  9125
  Copyright terms: Public domain W3C validator