Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfeq2 GIF version

Theorem iseqfeq2 8906
 Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq2.1 (φ𝐾 (ℤ𝑀))
iseqfveq2.2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
iseqfveq2.s (φ𝑆 𝑉)
iseqfveq2.f ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
iseqfveq2.g ((φ x (ℤ𝐾)) → (𝐺x) 𝑆)
iseqfveq2.pl ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
iseqfeq2.4 ((φ 𝑘 (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iseqfeq2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
Distinct variable groups:   x,𝑘,y,𝐹   𝑘,𝐺,x,y   𝑘,𝐾,x,y   φ,𝑘,x,y   𝑘,𝑀,x,y   + ,𝑘,x,y   𝑆,𝑘,x,y
Allowed substitution hints:   𝑉(x,y,𝑘)

Proof of Theorem iseqfeq2
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfveq2.1 . . . . 5 (φ𝐾 (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8254 . . . . 5 (𝐾 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (φ𝑀 ℤ)
4 iseqfveq2.s . . . 4 (φ𝑆 𝑉)
5 iseqfveq2.f . . . 4 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
6 iseqfveq2.pl . . . 4 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
73, 4, 5, 6iseqfn 8901 . . 3 (φ → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀))
8 uzss 8269 . . . 4 (𝐾 (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
91, 8syl 14 . . 3 (φ → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
10 fnssres 4955 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀) (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
117, 9, 10syl2anc 391 . 2 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
12 eluzelz 8258 . . . 4 (𝐾 (ℤ𝑀) → 𝐾 ℤ)
131, 12syl 14 . . 3 (φ𝐾 ℤ)
14 iseqfveq2.g . . 3 ((φ x (ℤ𝐾)) → (𝐺x) 𝑆)
1513, 4, 14, 6iseqfn 8901 . 2 (φ → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ𝐾))
16 fvres 5141 . . . 4 (z (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z))
1716adantl 262 . . 3 ((φ z (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘z) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z))
181adantr 261 . . . 4 ((φ z (ℤ𝐾)) → 𝐾 (ℤ𝑀))
19 iseqfveq2.2 . . . . 5 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
2019adantr 261 . . . 4 ((φ z (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
214adantr 261 . . . 4 ((φ z (ℤ𝐾)) → 𝑆 𝑉)
225adantlr 446 . . . 4 (((φ z (ℤ𝐾)) x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
2314adantlr 446 . . . 4 (((φ z (ℤ𝐾)) x (ℤ𝐾)) → (𝐺x) 𝑆)
246adantlr 446 . . . 4 (((φ z (ℤ𝐾)) (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
25 simpr 103 . . . 4 ((φ z (ℤ𝐾)) → z (ℤ𝐾))
26 elfzuz 8656 . . . . . 6 (𝑘 ((𝐾 + 1)...z) → 𝑘 (ℤ‘(𝐾 + 1)))
27 iseqfeq2.4 . . . . . 6 ((φ 𝑘 (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2826, 27sylan2 270 . . . . 5 ((φ 𝑘 ((𝐾 + 1)...z)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2928adantlr 446 . . . 4 (((φ z (ℤ𝐾)) 𝑘 ((𝐾 + 1)...z)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3018, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 29iseqfveq2 8905 . . 3 ((φ z (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))
3117, 30eqtrd 2069 . 2 ((φ z (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘z) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘z))
3211, 15, 31eqfnfvd 5211 1 (φ → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911   ↾ cres 4290   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249  ...cfz 8644  seqcseq 8892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-iseq 8893 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator