Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfeq2 GIF version

Theorem iseqfeq2 9229
 Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
iseqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
iseqfveq2.s (𝜑𝑆𝑉)
iseqfveq2.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.g ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqfveq2.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
iseqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐹   𝑘,𝐺,𝑥,𝑦   𝑘,𝐾,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑘,𝑀,𝑥,𝑦   + ,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem iseqfeq2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfveq2.1 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 8478 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 iseqfveq2.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
5 iseqfveq2.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 iseqfveq2.pl . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
73, 4, 5, 6iseqfn 9221 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀))
8 uzss 8493 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
91, 8syl 14 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
10 fnssres 5012 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
117, 9, 10syl2anc 391 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
12 eluzelz 8482 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
131, 12syl 14 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
14 iseqfveq2.g . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
1513, 4, 14, 6iseqfn 9221 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆) Fn (ℤ𝐾))
16 fvres 5198 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
1716adantl 262 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧))
181adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
19 iseqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
2019adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
214adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑆𝑉)
225adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
2314adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
246adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
25 simpr 103 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑧 ∈ (ℤ𝐾))
26 elfzuz 8886 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
27 iseqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2826, 27sylan2 270 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2928adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑧)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
3018, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 29iseqfveq2 9228 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆)‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
3117, 30eqtrd 2072 . 2 ((𝜑𝑧 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑧) = (seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆)‘𝑧))
3211, 15, 31eqfnfvd 5268 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, 𝑆) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺, 𝑆))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917   ↾ cres 4347   Fn wfn 4897  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  ...cfz 8874  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-iseq 9212 This theorem is referenced by:  iseqid  9247
 Copyright terms: Public domain W3C validator