Theorem eluzel2 8478

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzf 8476	. . . 4 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
2		frel 5049	. . . 4 ⊢ (ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ≥)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 ⊢ Rel ℤ≥
4		relelfvdm 5205	. . 3 ⊢ ((Rel ℤ≥ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
5	3, 4	mpan 400	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
6	1	fdmi 5051	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
7	5, 6	syl6eleq 2130	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1393  𝒫 cpw 3359  dom cdm 4345  Rel wrel 4350  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  ℤcz 8245  ℤ_≥cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  eluz2  8479  uztrn  8489  uzneg  8491  uzss  8493  uz11  8495  eluzadd  8501  uzm1  8503  uzin  8505  uzind4  8531  elfz5  8882  elfzel1  8889  eluzfz1  8895  fzsplit2  8914  fzopth  8924  fzpred  8932  fzpreddisj  8933  fzdifsuc  8943  uzsplit  8954  uzdisj  8955  elfzp12  8961  fzm1  8962  uznfz  8965  nn0disj  8995  fzolb  9009  fzoss2  9028  fzouzdisj  9036  ige2m2fzo  9054  elfzonelfzo  9086  frec2uzrand  9191  frecfzen2  9204  iseqcl  9223  iseqp1  9225  iseqfeq2  9229  iseqfveq  9230  iseqshft2  9232  iseqsplit  9238  iseqcaopr3  9240  iseqid3s  9246  iseqid  9247  iseqhomo  9248  serige0  9252  serile  9253  leexp2a  9307  rexanuz2  9589  cau4  9712  clim2iser  9857  clim2iser2  9858  climserile  9865