ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzel2 Structured version   GIF version

Theorem eluzel2 8234
Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
eluzel2 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)

Proof of Theorem eluzel2
StepHypRef Expression
1 uzf 8232 . . . 4 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 frel 4992 . . . 4 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → Rel ℤ)
31, 2ax-mp 7 . . 3 Rel ℤ
4 relelfvdm 5148 . . 3 ((Rel ℤ 𝑁 (ℤ𝑀)) → 𝑀 dom ℤ)
53, 4mpan 400 . 2 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 dom ℤ)
61fdmi 4994 . 2 dom ℤ = ℤ
75, 6syl6eleq 2127 1 (𝑁 (ℤ𝑀) → 𝑀 ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wcel 1390  𝒫 cpw 3351  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  wf 4841  cfv 4845  cz 8001  cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-neg 6962  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  eluz2  8235  uztrn  8245  uzneg  8247  uzss  8249  uz11  8251  eluzadd  8257  uzm1  8259  uzin  8261  uzind4  8287  elfz5  8632  elfzel1  8639  eluzfz1  8645  fzsplit2  8664  fzopth  8674  fzpred  8682  fzpreddisj  8683  fzdifsuc  8693  uzsplit  8704  uzdisj  8705  elfzp12  8711  fzm1  8712  uznfz  8715  nn0disj  8745  fzolb  8759  fzoss2  8778  fzouzdisj  8786  ige2m2fzo  8804  elfzonelfzo  8836  frec2uzrand  8852  frecfzen2  8865  iseqcl  8883  iseqp1  8884  iseqfeq2  8886  iseqfveq  8887  leexp2a  8941
  Copyright terms: Public domain W3C validator