ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqfveq2 Structured version   Unicode version

Theorem iseqfveq2 8905
Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqfveq2.1  K  ZZ>= `  M
iseqfveq2.2  seq M 
.+  ,  F ,  S `  K  G `  K
iseqfveq2.s  S  V
iseqfveq2.f 
ZZ>= `  M  F `  S
iseqfveq2.g 
ZZ>= `  K  G `  S
iseqfveq2.pl  S  S  .+  S
iseqfveq2.3  N  ZZ>= `  K
iseqfveq2.4  k  K  +  1 ... N  F `
 k  G `  k
Assertion
Ref Expression
iseqfveq2  seq M 
.+  ,  F ,  S `  N  seq K  .+  ,  G ,  S `  N
Distinct variable groups:   , k,, F    k, G,,    k, K,,    k, N,,   , k,,   
k, M,,    .+ , k,,    S, k,,
Allowed substitution hints:    V(,, k)

Proof of Theorem iseqfveq2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqfveq2.3 . . 3  N  ZZ>= `  K
2 eluzfz2 8666 . . 3  N  ZZ>= `  K  N  K ... N
31, 2syl 14 . 2  N  K ... N
4 eleq1 2097 . . . . . 6  K  K ... N  K  K ... N
5 fveq2 5121 . . . . . . 7  K  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 K
6 fveq2 5121 . . . . . . 7  K  seq K  .+  ,  G ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 K
75, 6eqeq12d 2051 . . . . . 6  K  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  seq M 
.+  ,  F ,  S `  K  seq K  .+  ,  G ,  S `  K
84, 7imbi12d 223 . . . . 5  K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  K  seq K  .+  ,  G ,  S `  K
98imbi2d 219 . . . 4  K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 K  seq K 
.+  ,  G ,  S `  K
10 eleq1 2097 . . . . . 6  K ... N  K ... N
11 fveq2 5121 . . . . . . 7  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq M  .+  ,  F ,  S `
12 fveq2 5121 . . . . . . 7  seq K  .+  ,  G ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
1311, 12eqeq12d 2051 . . . . . 6  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  seq M 
.+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `
1410, 13imbi12d 223 . . . . 5  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `
1514imbi2d 219 . . . 4  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `
16 eleq1 2097 . . . . . 6  + 
1  K ... N  +  1  K ... N
17 fveq2 5121 . . . . . . 7  + 
1  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 + 
1
18 fveq2 5121 . . . . . . 7  + 
1  seq K  .+  ,  G ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 + 
1
1917, 18eqeq12d 2051 . . . . . 6  + 
1  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  seq M 
.+  ,  F ,  S `  +  1  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1
2016, 19imbi12d 223 . . . . 5  + 
1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 + 
1
2120imbi2d 219 . . . 4  + 
1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 + 
1  seq K 
.+  ,  G ,  S `  +  1
22 eleq1 2097 . . . . . 6  N  K ... N  N  K ... N
23 fveq2 5121 . . . . . . 7  N  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 N
24 fveq2 5121 . . . . . . 7  N  seq K  .+  ,  G ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 N
2523, 24eqeq12d 2051 . . . . . 6  N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  seq M 
.+  ,  F ,  S `  N  seq K  .+  ,  G ,  S `  N
2622, 25imbi12d 223 . . . . 5  N  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  N  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  N  seq K  .+  ,  G ,  S `  N
2726imbi2d 219 . . . 4  N  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 N  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 N  seq K 
.+  ,  G ,  S `  N
28 iseqfveq2.2 . . . . . . 7  seq M 
.+  ,  F ,  S `  K  G `  K
29 iseqfveq2.1 . . . . . . . . 9  K  ZZ>= `  M
30 eluzelz 8258 . . . . . . . . 9  K  ZZ>= `  M  K  ZZ
3129, 30syl 14 . . . . . . . 8  K  ZZ
32 iseqfveq2.s . . . . . . . 8  S  V
33 iseqfveq2.g . . . . . . . 8 
ZZ>= `  K  G `  S
34 iseqfveq2.pl . . . . . . . 8  S  S  .+  S
3531, 32, 33, 34iseq1 8902 . . . . . . 7  seq K 
.+  ,  G ,  S `  K  G `  K
3628, 35eqtr4d 2072 . . . . . 6  seq M 
.+  ,  F ,  S `  K  seq K  .+  ,  G ,  S `  K
3736a1d 22 . . . . 5  K  K ... N  seq M 
.+  ,  F ,  S `  K  seq K  .+  ,  G ,  S `  K
3837a1i 9 . . . 4  K  ZZ  K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  K  seq K  .+  ,  G ,  S `  K
39 peano2fzr 8671 . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  K ... N
4039adantl 262 . . . . . . . . 9  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  K ... N
4140expr 357 . . . . . . . 8 
ZZ>= `  K  + 
1  K ... N  K ... N
4241imim1d 69 . . . . . . 7 
ZZ>= `  K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S ` 
seq K  .+  ,  G ,  S `
43 oveq1 5462 . . . . . . . . . 10 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  seq M  .+  ,  F ,  S `  .+  F `  +  1  seq K 
.+  ,  G ,  S `  .+  F `  +  1
44 simprl 483 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  ZZ>= `  K
4529adantr 261 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  K  ZZ>= `  M
46 uztrn 8265 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  K  K  ZZ>= `  M 
ZZ>= `  M
4744, 45, 46syl2anc 391 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  ZZ>= `  M
4832adantr 261 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  S  V
49 iseqfveq2.f . . . . . . . . . . . . 13 
ZZ>= `  M  F `  S
5049adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  ZZ>=
`  M  F `  S
5134adantlr 446 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  S  S  .+  S
5247, 48, 50, 51iseqp1 8904 . . . . . . . . . . 11  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 .+  F `  +  1
5333adantlr 446 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  ZZ>=
`  K  G `  S
5444, 48, 53, 51iseqp1 8904 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 .+  G `  +  1
55 eluzp1p1 8274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  ZZ>= `  K  + 
1 
ZZ>= `  K  + 
1
5655ad2antrl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  +  1  ZZ>= `  K  +  1
57 elfzuz3 8657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  +  1  K ... N  N  ZZ>= `  +  1
5857ad2antll 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  N  ZZ>= `  +  1
59 elfzuzb 8654 . . . . . . . . . . . . . . 15  +  1  K  +  1 ... N  +  1  ZZ>= `  K  +  1  N  ZZ>= `  +  1
6056, 58, 59sylanbrc 394 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  +  1  K  + 
1 ... N
61 iseqfveq2.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  k  K  +  1 ... N  F `
 k  G `  k
6261ralrimiva 2386 . . . . . . . . . . . . . . 15  k  K  +  1 ... N F `  k  G `  k
6362adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  k  K  + 
1 ... N F `  k  G `  k
64 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  k  + 
1  F `  k  F `  +  1
65 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  k  + 
1  G `  k  G `  +  1
6664, 65eqeq12d 2051 . . . . . . . . . . . . . . 15  k  + 
1  F `  k  G `  k  F `  +  1  G `  +  1
6766rspcv 2646 . . . . . . . . . . . . . 14  +  1  K  +  1 ... N  k  K  +  1 ... N F `  k  G `  k  F `  +  1  G `  +  1
6860, 63, 67sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  F `
 + 
1  G `  +  1
6968oveq2d 5471 . . . . . . . . . . . 12  ZZ>= `  K  +  1  K ... N 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 .+  F `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 .+  G `  +  1
7054, 69eqtr4d 2072 . . . . . . . . . . 11  ZZ>= `  K  +  1  K ... N  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 .+  F `  +  1
7152, 70eqeq12d 2051 . . . . . . . . . 10  ZZ>= `  K  +  1  K ... N 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 + 
1  seq K 
.+  ,  G ,  S `  +  1  seq M  .+  ,  F ,  S `  .+  F `  +  1  seq K 
.+  ,  G ,  S `  .+  F `  +  1
7243, 71syl5ibr 145 . . . . . . . . 9  ZZ>= `  K  +  1  K ... N 
seq M  .+  ,  F ,  S `
 seq K 
.+  ,  G ,  S `  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1
7372expr 357 . . . . . . . 8 
ZZ>= `  K  + 
1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1
7473a2d 23 . . . . . . 7 
ZZ>= `  K  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 + 
1
7542, 74syld 40 . . . . . 6 
ZZ>= `  K  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 + 
1
7675expcom 109 . . . . 5  ZZ>= `  K  K ... N  seq M 
.+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1 
seq K  .+  ,  G ,  S `
 + 
1
7776a2d 23 . . . 4  ZZ>= `  K  K ... N  seq M 
.+  ,  F ,  S `  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `  +  1  seq K  .+  ,  G ,  S `  +  1
789, 15, 21, 27, 38, 77uzind4 8307 . . 3  N  ZZ>= `  K  N  K ... N  seq M  .+  ,  F ,  S `
 N  seq K 
.+  ,  G ,  S `  N
791, 78mpcom 32 . 2  N  K ... N  seq M 
.+  ,  F ,  S `  N  seq K  .+  ,  G ,  S `  N
803, 79mpd 13 1  seq M 
.+  ,  F ,  S `  N  seq K  .+  ,  G ,  S `  N
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1c1 6712    + caddc 6714   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644    seqcseq 8892
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-iseq 8893
This theorem is referenced by:  iseqfeq2  8906  iseqfveq  8907
  Copyright terms: Public domain W3C validator