Theorem iseqfveq2 8905

Description: Equality of sequences. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqfveq2.1	|- (ph -> K e. ( ZZ>= ` M))
iseqfveq2.2	|- (ph -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( G ` K))
iseqfveq2.s	|- (ph -> S e. V)
iseqfveq2.f	|- ((ph /\ x e. ( ZZ>= ` M)) -> ( F ` x) e. S)
iseqfveq2.g	|- ((ph /\ x e. ( ZZ>= ` K)) -> ( G ` x) e. S)
iseqfveq2.pl	|- ((ph /\ (x e. S /\ y e. S)) -> (x .+ y) e. S)
iseqfveq2.3	|- (ph -> N e. ( ZZ>= ` K))
iseqfveq2.4	|- ((ph /\ k e. (( K + 1) ... N)) -> ( F ` k) = ( G ` k))

Assertion

Ref	Expression
iseqfveq2	|- (ph -> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N))

Distinct variable groups:   x, k,y, F   k, G,x,y   k, K,x,y   k, N,x,y   ph, k,x,y   k, M,x,y   .+ , k,x,y   S, k,x,y

Allowed substitution hints:   V(x,y, k)

Proof of Theorem iseqfveq2

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqfveq2.3	. . 3 |- (ph -> N e. ( ZZ>= ` K))
2		eluzfz2 8666	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K) -> N e. ( K ... N))
3	1, 2	syl 14	. 2 |- (ph -> N e. ( K ... N))
4		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (z = K -> (z e. ( K ... N) <-> K e. ( K ... N)))
5		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = K -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq M( .+ , F , S) ` K))
6		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = K -> ( seq K( .+ , G , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` K))
7	5, 6	eqeq12d 2051	. . . . . 6 |- (z = K -> (( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z) <-> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( seq K( .+ , G , S) ` K)))
8	4, 7	imbi12d 223	. . . . 5 |- (z = K -> ((z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z)) <-> ( K e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( seq K( .+ , G , S) ` K))))
9	8	imbi2d 219	. . . 4 |- (z = K -> ((ph -> (z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z))) <-> (ph -> ( K e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( seq K( .+ , G , S) ` K)))))
10		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (z = w -> (z e. ( K ... N) <-> w e. ( K ... N)))
11		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = w -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq M( .+ , F , S) ` w))
12		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = w -> ( seq K( .+ , G , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` w))
13	11, 12	eqeq12d 2051	. . . . . 6 |- (z = w -> (( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z) <-> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w)))
14	10, 13	imbi12d 223	. . . . 5 |- (z = w -> ((z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z)) <-> (w e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w))))
15	14	imbi2d 219	. . . 4 |- (z = w -> ((ph -> (z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z))) <-> (ph -> (w e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w)))))
16		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (z = (w + 1) -> (z e. ( K ... N) <-> (w + 1) e. ( K ... N)))
17		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = (w + 1) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)))
18		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = (w + 1) -> ( seq K( .+ , G , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)))
19	17, 18	eqeq12d 2051	. . . . . 6 |- (z = (w + 1) -> (( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z) <-> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1))))
20	16, 19	imbi12d 223	. . . . 5 |- (z = (w + 1) -> ((z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z)) <-> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)))))
21	20	imbi2d 219	. . . 4 |- (z = (w + 1) -> ((ph -> (z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z))) <-> (ph -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1))))))
22		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (z = N -> (z e. ( K ... N) <-> N e. ( K ... N)))
23		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = N -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq M( .+ , F , S) ` N))
24		fveq2 5121	. . . . . . 7 |- (z = N -> ( seq K( .+ , G , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` N))
25	23, 24	eqeq12d 2051	. . . . . 6 |- (z = N -> (( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z) <-> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N)))
26	22, 25	imbi12d 223	. . . . 5 |- (z = N -> ((z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z)) <-> ( N e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N))))
27	26	imbi2d 219	. . . 4 |- (z = N -> ((ph -> (z e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` z) = ( seq K( .+ , G , S) ` z))) <-> (ph -> ( N e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N)))))
28		iseqfveq2.2	. . . . . . 7 |- (ph -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( G ` K))
29		iseqfveq2.1	. . . . . . . . 9 |- (ph -> K e. ( ZZ>= ` M))
30		eluzelz 8258	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` M) -> K e. ZZ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . 8 |- (ph -> K e. ZZ)
32		iseqfveq2.s	. . . . . . . 8 |- (ph -> S e. V)
33		iseqfveq2.g	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ x e. ( ZZ>= ` K)) -> ( G ` x) e. S)
34		iseqfveq2.pl	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ (x e. S /\ y e. S)) -> (x .+ y) e. S)
35	31, 32, 33, 34	iseq1 8902	. . . . . . 7 |- (ph -> ( seq K( .+ , G , S) ` K) = ( G ` K))
36	28, 35	eqtr4d 2072	. . . . . 6 |- (ph -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( seq K( .+ , G , S) ` K))
37	36	a1d 22	. . . . 5 |- (ph -> ( K e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( seq K( .+ , G , S) ` K)))
38	37	a1i 9	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> (ph -> ( K e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` K) = ( seq K( .+ , G , S) ` K))))
39		peano2fzr 8671	. . . . . . . . . 10 |- ((w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N)) -> w e. ( K ... N))
40	39	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> w e. ( K ... N))
41	40	expr 357	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ w e. ( ZZ>= ` K)) -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> w e. ( K ... N)))
42	41	imim1d 69	. . . . . . 7 |- ((ph /\ w e. ( ZZ>= ` K)) -> ((w e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w)) -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w))))
43		oveq1 5462	. . . . . . . . . 10 |- (( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w) -> (( seq M( .+ , F , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1))) = (( seq K( .+ , G , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1))))
44		simprl 483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> w e. ( ZZ>= ` K))
45	29	adantr 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> K e. ( ZZ>= ` M))
46		uztrn 8265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. ( ZZ>= ` K) /\ K e. ( ZZ>= ` M)) -> w e. ( ZZ>= ` M))
47	44, 45, 46	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> w e. ( ZZ>= ` M))
48	32	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> S e. V)
49		iseqfveq2.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ x e. ( ZZ>= ` M)) -> ( F ` x) e. S)
50	49	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 |- (((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) /\ x e. ( ZZ>= ` M)) -> ( F ` x) e. S)
51	34	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 |- (((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) /\ (x e. S /\ y e. S)) -> (x .+ y) e. S)
52	47, 48, 50, 51	iseqp1 8904	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = (( seq M( .+ , F , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1))))
53	33	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) /\ x e. ( ZZ>= ` K)) -> ( G ` x) e. S)
54	44, 48, 53, 51	iseqp1 8904	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)) = (( seq K( .+ , G , S) ` w) .+ ( G ` (w + 1))))
55		eluzp1p1 8274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. ( ZZ>= ` K) -> (w + 1) e. ( ZZ>= ` ( K + 1)))
56	55	ad2antrl 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> (w + 1) e. ( ZZ>= ` ( K + 1)))
57		elfzuz3 8657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w + 1) e. ( K ... N) -> N e. ( ZZ>= ` (w + 1)))
58	57	ad2antll 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> N e. ( ZZ>= ` (w + 1)))
59		elfzuzb 8654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w + 1) e. (( K + 1) ... N) <-> ((w + 1) e. ( ZZ>= ` ( K + 1)) /\ N e. ( ZZ>= ` (w + 1))))
60	56, 58, 59	sylanbrc 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> (w + 1) e. (( K + 1) ... N))
61		iseqfveq2.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((ph /\ k e. (( K + 1) ... N)) -> ( F ` k) = ( G ` k))
62	61	ralrimiva 2386	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (ph -> A. k e. (( K + 1) ... N)( F ` k) = ( G ` k))
63	62	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> A. k e. (( K + 1) ... N)( F ` k) = ( G ` k))
64		fveq2 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = (w + 1) -> ( F ` k) = ( F ` (w + 1)))
65		fveq2 5121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = (w + 1) -> ( G ` k) = ( G ` (w + 1)))
66	64, 65	eqeq12d 2051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = (w + 1) -> (( F ` k) = ( G ` k) <-> ( F ` (w + 1)) = ( G ` (w + 1))))
67	66	rspcv 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w + 1) e. (( K + 1) ... N) -> (A. k e. (( K + 1) ... N)( F ` k) = ( G ` k) -> ( F ` (w + 1)) = ( G ` (w + 1))))
68	60, 63, 67	sylc 56	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> ( F ` (w + 1)) = ( G ` (w + 1)))
69	68	oveq2d 5471	. . . . . . . . . . . 12 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> (( seq K( .+ , G , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1))) = (( seq K( .+ , G , S) ` w) .+ ( G ` (w + 1))))
70	54, 69	eqtr4d 2072	. . . . . . . . . . 11 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)) = (( seq K( .+ , G , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1))))
71	52, 70	eqeq12d 2051	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> (( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)) <-> (( seq M( .+ , F , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1))) = (( seq K( .+ , G , S) ` w) .+ ( F ` (w + 1)))))
72	43, 71	syl5ibr 145	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ (w e. ( ZZ>= ` K) /\ (w + 1) e. ( K ... N))) -> (( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1))))
73	72	expr 357	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ w e. ( ZZ>= ` K)) -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> (( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)))))
74	73	a2d 23	. . . . . . 7 |- ((ph /\ w e. ( ZZ>= ` K)) -> (((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w)) -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)))))
75	42, 74	syld 40	. . . . . 6 |- ((ph /\ w e. ( ZZ>= ` K)) -> ((w e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w)) -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1)))))
76	75	expcom 109	. . . . 5 |- (w e. ( ZZ>= ` K) -> (ph -> ((w e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w)) -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1))))))
77	76	a2d 23	. . . 4 |- (w e. ( ZZ>= ` K) -> ((ph -> (w e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` w) = ( seq K( .+ , G , S) ` w))) -> (ph -> ((w + 1) e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` (w + 1)) = ( seq K( .+ , G , S) ` (w + 1))))))
78	9, 15, 21, 27, 38, 77	uzind4 8307	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` K) -> (ph -> ( N e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N))))
79	1, 78	mpcom 32	. 2 |- (ph -> ( N e. ( K ... N) -> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N)))
80	3, 79	mpd 13	1 |- (ph -> ( seq M( .+ , F , S) ` N) = ( seq K( .+ , G , S) ` N))

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1242   e. wcel 1390  A.wral 2300   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   1c1 6712   + caddc 6714   ZZcz 8021   ZZ>=cuz 8249   ...cfz 8644   seqcseq 8892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645  df-iseq 8893

This theorem is referenced by:  iseqfeq2  8906  iseqfveq  8907