Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expivallem Structured version   GIF version

Theorem expivallem 8910
 Description: Lemma for expival 8911. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expivallem ((A A # 0 𝑁 ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem expivallem
Dummy variables 𝑘 𝑛 x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5121 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1))
21breq1d 3765 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1) # 0))
32imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1) # 0)))
4 fveq2 5121 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘))
54breq1d 3765 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0))
65imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0)))
7 fveq2 5121 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)))
87breq1d 3765 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0))
98imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
10 fveq2 5121 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁))
1110breq1d 3765 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁) # 0))
1211imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁) # 0)))
13 simpr 103 . . . . 5 ((A A # 0) → A # 0)
14 1zzd 8048 . . . . . . . 8 ((A A # 0) → 1 ℤ)
15 cnex 6803 . . . . . . . . 9 V
1615a1i 9 . . . . . . . 8 ((A A # 0) → ℂ V)
17 elnnuz 8285 . . . . . . . . . . 11 (x ℕ ↔ x (ℤ‘1))
18 fvconst2g 5318 . . . . . . . . . . 11 ((A x ℕ) → ((ℕ × {A})‘x) = A)
1917, 18sylan2br 272 . . . . . . . . . 10 ((A x (ℤ‘1)) → ((ℕ × {A})‘x) = A)
2019adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) x (ℤ‘1)) → ((ℕ × {A})‘x) = A)
21 simpll 481 . . . . . . . . 9 (((A A # 0) x (ℤ‘1)) → A ℂ)
2220, 21eqeltrd 2111 . . . . . . . 8 (((A A # 0) x (ℤ‘1)) → ((ℕ × {A})‘x) ℂ)
23 mulcl 6806 . . . . . . . . 9 ((x y ℂ) → (x · y) ℂ)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 (((A A # 0) (x y ℂ)) → (x · y) ℂ)
2514, 16, 22, 24iseq1 8902 . . . . . . 7 ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1) = ((ℕ × {A})‘1))
26 1nn 7706 . . . . . . . . 9 1
27 fvconst2g 5318 . . . . . . . . 9 ((A 1 ℕ) → ((ℕ × {A})‘1) = A)
2826, 27mpan2 401 . . . . . . . 8 (A ℂ → ((ℕ × {A})‘1) = A)
2928adantr 261 . . . . . . 7 ((A A # 0) → ((ℕ × {A})‘1) = A)
3025, 29eqtrd 2069 . . . . . 6 ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1) = A)
3130breq1d 3765 . . . . 5 ((A A # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1) # 0 ↔ A # 0))
3213, 31mpbird 156 . . . 4 ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘1) # 0)
33 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 (A A # 0)) → 𝑘 ℕ)
34 elnnuz 8285 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ℕ ↔ 𝑘 (ℤ‘1))
3533, 34sylib 127 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 (A A # 0)) → 𝑘 (ℤ‘1))
3635adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝑘 (ℤ‘1))
3715a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ℂ V)
3822adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 (A A # 0)) x (ℤ‘1)) → ((ℕ × {A})‘x) ℂ)
3938adantlr 446 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) x (ℤ‘1)) → ((ℕ × {A})‘x) ℂ)
4023adantl 262 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) (x y ℂ)) → (x · y) ℂ)
4136, 37, 39, 40iseqcl 8903 . . . . . . . 8 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) ℂ)
42 simplrl 487 . . . . . . . 8 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → A ℂ)
43 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0)
44 simplrr 488 . . . . . . . 8 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → A # 0)
4541, 42, 43, 44mulap0d 7421 . . . . . . 7 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · A) # 0)
4615a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 (A A # 0)) → ℂ V)
4723adantl 262 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 (A A # 0)) (x y ℂ)) → (x · y) ℂ)
4835, 46, 38, 47iseqp1 8904 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 (A A # 0)) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · ((ℕ × {A})‘(𝑘 + 1))))
49 simprl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 (A A # 0)) → A ℂ)
5033peano2nnd 7710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 (A A # 0)) → (𝑘 + 1) ℕ)
51 fvconst2g 5318 . . . . . . . . . . . 12 ((A (𝑘 + 1) ℕ) → ((ℕ × {A})‘(𝑘 + 1)) = A)
5249, 50, 51syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 (A A # 0)) → ((ℕ × {A})‘(𝑘 + 1)) = A)
5352oveq2d 5471 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 (A A # 0)) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · ((ℕ × {A})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · A))
5448, 53eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((𝑘 (A A # 0)) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · A))
5554breq1d 3765 . . . . . . . 8 ((𝑘 (A A # 0)) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · A) # 0))
5655adantr 261 . . . . . . 7 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) · A) # 0))
5745, 56mpbird 156 . . . . . 6 (((𝑘 (A A # 0)) (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)
5857exp31 346 . . . . 5 (𝑘 ℕ → ((A A # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
5958a2d 23 . . . 4 (𝑘 ℕ → (((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
603, 6, 9, 12, 32, 59nnind 7711 . . 3 (𝑁 ℕ → ((A A # 0) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁) # 0))
6160impcom 116 . 2 (((A A # 0) 𝑁 ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁) # 0)
62613impa 1098 1 ((A A # 0 𝑁 ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {A}), ℂ)‘𝑁) # 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  {csn 3367   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716   # cap 7365  ℕcn 7695  ℤ≥cuz 8249  seqcseq 8892 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893 This theorem is referenced by:  expival  8911
 Copyright terms: Public domain W3C validator