Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expivallem GIF version

Theorem expivallem 9256
 Description: Lemma for expival 9257. If we take a complex number apart from zero and raise it to a positive integer power, the result is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expivallem ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)

Proof of Theorem expivallem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1))
21breq1d 3774 . . . . 5 (𝑛 = 1 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0))
32imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = 1 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0)))
4 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘))
54breq1d 3774 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0))
65imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0)))
7 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)))
87breq1d 3774 . . . . 5 (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0))
98imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
10 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) = (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁))
1110breq1d 3774 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0 ↔ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0))
1211imbi2d 219 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑛) # 0) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)))
13 simpr 103 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 𝐴 # 0)
14 1zzd 8272 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → 1 ∈ ℤ)
15 cnex 7005 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ V
1615a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ℂ ∈ V)
17 elnnuz 8509 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑥 ∈ (ℤ‘1))
18 fvconst2g 5375 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
1917, 18sylan2br 272 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
2019adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
21 simpll 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2220, 21eqeltrd 2114 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
23 mulcl 7008 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2423adantl 262 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2514, 16, 22, 24iseq1 9222 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) = ((ℕ × {𝐴})‘1))
26 1nn 7925 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
27 fvconst2g 5375 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2826, 27mpan2 401 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
2928adantr 261 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((ℕ × {𝐴})‘1) = 𝐴)
3025, 29eqtrd 2072 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) = 𝐴)
3130breq1d 3774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0 ↔ 𝐴 # 0))
3213, 31mpbird 156 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘1) # 0)
33 simpl 102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ ℕ)
34 elnnuz 8509 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3533, 34sylib 127 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3635adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
3715a1i 9 . . . . . . . . 9 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ℂ ∈ V)
3822adantll 445 . . . . . . . . . 10 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
3938adantlr 446 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑥) ∈ ℂ)
4023adantl 262 . . . . . . . . 9 ((((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4136, 37, 39, 40iseqcl 9223 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) ∈ ℂ)
42 simplrl 487 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
43 simpr 103 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0)
44 simplrr 488 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → 𝐴 # 0)
4541, 42, 43, 44mulap0d 7639 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴) # 0)
4615a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ℂ ∈ V)
4723adantl 262 . . . . . . . . . . 11 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
4835, 46, 38, 47iseqp1 9225 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))))
49 simprl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
5033peano2nnd 7929 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
51 fvconst2g 5375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
5249, 50, 51syl2anc 391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1)) = 𝐴)
5352oveq2d 5528 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · ((ℕ × {𝐴})‘(𝑘 + 1))) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴))
5448, 53eqtrd 2072 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴))
5554breq1d 3774 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴) # 0))
5655adantr 261 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0 ↔ ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) · 𝐴) # 0))
5745, 56mpbird 156 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0)) ∧ (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)
5857exp31 346 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → ((seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0 → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
5958a2d 23 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑘) # 0) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘(𝑘 + 1)) # 0)))
603, 6, 9, 12, 32, 59nnind 7930 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0))
6160impcom 116 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)
62613impa 1099 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1( · , (ℕ × {𝐴}), ℂ)‘𝑁) # 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  {csn 3375   class class class wbr 3764   × cxp 4343  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   · cmul 6894   # cap 7572  ℕcn 7914  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212 This theorem is referenced by:  expival  9257
 Copyright terms: Public domain W3C validator