Theorem iseqovex 9219

Description: Closure of a function used in proving sequence builder theorems. This can be thought of as a lemma for the small number of sequence builder theorems which need it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqovex.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
iseqovex.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
iseqovex	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑆,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑀,𝑥,𝑧

Allowed substitution hint:   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem iseqovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2041	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))))
2		simprr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → 𝑤 = 𝑦)
3		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → 𝑧 = 𝑥)
4	3	oveq1d 5527	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
5	4	fveq2d 5182	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
6	2, 5	oveq12d 5530	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 = 𝑥 ∧ 𝑤 = 𝑦)) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
7		simprl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		simprr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
9		iseqovex.pl	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10	9	caovclg 5653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
11	10	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ 𝑆)) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑆)
12		peano2uz 8526	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
13	7, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		iseqovex.f	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
15	14	ralrimiva 2392	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
16		fveq2 5178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑧))
17	16	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆))
18	17	cbvralv 2533	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
19	15, 18	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
20	19	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆)
21		fveq2 5178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
22	21	eleq1d 2106	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
23	22	rspcv 2652	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (∀𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑧) ∈ 𝑆 → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
24	13, 20, 23	sylc 56	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
25	11, 8, 24	caovcld 5654	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
26	1, 6, 7, 8, 25	ovmpt2d 5628	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
27	26, 25	eqeltrd 2114	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∀wral 2306  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512   ↦ cmpt2 5514  1c1 6890   + caddc 6892  ℤ_≥cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  iseqfn  9221  iseq1  9222  iseqcl  9223  iseqp1  9225