ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iseqovex Structured version   GIF version

Theorem iseqovex 8899
Description: Closure of a function used in proving sequence builder theorems. This can be thought of as a lemma for the small number of sequence builder theorems which need it. (Contributed by Jim Kingdon, 31-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqovex.f ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
iseqovex.pl ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
Assertion
Ref Expression
iseqovex ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) 𝑆)
Distinct variable groups:   w,𝐹,x,y,z   w, + ,x,y,z   w,𝑆,x,y,z   φ,w,x,y,z   w,𝑀,x,z
Allowed substitution hint:   𝑀(y)

Proof of Theorem iseqovex
StepHypRef Expression
1 eqidd 2038 . . 3 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1)))) = (z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1)))))
2 simprr 484 . . . 4 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (z = x w = y)) → w = y)
3 simprl 483 . . . . . 6 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (z = x w = y)) → z = x)
43oveq1d 5470 . . . . 5 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (z = x w = y)) → (z + 1) = (x + 1))
54fveq2d 5125 . . . 4 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (z = x w = y)) → (𝐹‘(z + 1)) = (𝐹‘(x + 1)))
62, 5oveq12d 5473 . . 3 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (z = x w = y)) → (w + (𝐹‘(z + 1))) = (y + (𝐹‘(x + 1))))
7 simprl 483 . . 3 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → x (ℤ𝑀))
8 simprr 484 . . 3 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → y 𝑆)
9 iseqovex.pl . . . . . 6 ((φ (x 𝑆 y 𝑆)) → (x + y) 𝑆)
109caovclg 5595 . . . . 5 ((φ (z 𝑆 w 𝑆)) → (z + w) 𝑆)
1110adantlr 446 . . . 4 (((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) (z 𝑆 w 𝑆)) → (z + w) 𝑆)
12 peano2uz 8302 . . . . . 6 (x (ℤ𝑀) → (x + 1) (ℤ𝑀))
137, 12syl 14 . . . . 5 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (x + 1) (ℤ𝑀))
14 iseqovex.f . . . . . . . 8 ((φ x (ℤ𝑀)) → (𝐹x) 𝑆)
1514ralrimiva 2386 . . . . . . 7 (φx (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆)
16 fveq2 5121 . . . . . . . . 9 (x = z → (𝐹x) = (𝐹z))
1716eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (x = z → ((𝐹x) 𝑆 ↔ (𝐹z) 𝑆))
1817cbvralv 2527 . . . . . . 7 (x (ℤ𝑀)(𝐹x) 𝑆z (ℤ𝑀)(𝐹z) 𝑆)
1915, 18sylib 127 . . . . . 6 (φz (ℤ𝑀)(𝐹z) 𝑆)
2019adantr 261 . . . . 5 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → z (ℤ𝑀)(𝐹z) 𝑆)
21 fveq2 5121 . . . . . . 7 (z = (x + 1) → (𝐹z) = (𝐹‘(x + 1)))
2221eleq1d 2103 . . . . . 6 (z = (x + 1) → ((𝐹z) 𝑆 ↔ (𝐹‘(x + 1)) 𝑆))
2322rspcv 2646 . . . . 5 ((x + 1) (ℤ𝑀) → (z (ℤ𝑀)(𝐹z) 𝑆 → (𝐹‘(x + 1)) 𝑆))
2413, 20, 23sylc 56 . . . 4 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (𝐹‘(x + 1)) 𝑆)
2511, 8, 24caovcld 5596 . . 3 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (y + (𝐹‘(x + 1))) 𝑆)
261, 6, 7, 8, 25ovmpt2d 5570 . 2 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) = (y + (𝐹‘(x + 1))))
2726, 25eqeltrd 2111 1 ((φ (x (ℤ𝑀) y 𝑆)) → (x(z (ℤ𝑀), w 𝑆 ↦ (w + (𝐹‘(z + 1))))y) 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cfv 4845  (class class class)co 5455  cmpt2 5457  1c1 6712   + caddc 6714  cuz 8249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250
This theorem is referenced by:  iseqfn  8901  iseq1  8902  iseqcl  8903  iseqp1  8904
  Copyright terms: Public domain W3C validator