Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climserile GIF version

Theorem climserile 9865
 Description: The partial sums of a converging infinite series with nonnegative terms are bounded by its limit. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climserile.2 (𝜑𝑁𝑍)
climserile.3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
climserile.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climserile.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climserile (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem climserile
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clim2ser.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 climserile.2 . 2 (𝜑𝑁𝑍)
3 climserile.3 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ) ⇝ 𝐴)
42, 1syl6eleq 2130 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 eluzel2 8478 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
64, 5syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 climserile.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
81, 6, 7iserfre 9234 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ):𝑍⟶ℝ)
9 cnex 7005 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
109a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
11 ax-resscn 6976 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1211a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
131eleq2i 2104 . . . . . . 7 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
1413, 7sylan2br 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
15 readdcl 7007 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
1615adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℝ)
17 addcl 7006 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
1817adantl 262 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
196, 10, 12, 14, 16, 18iseqss 9226 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℝ) = seq𝑀( + , 𝐹, ℂ))
2019feq1d 5034 . . . 4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ):𝑍⟶ℝ ↔ seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℝ))
218, 20mpbid 135 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹, ℂ):𝑍⟶ℝ)
2221ffvelrnda 5302 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ∈ ℝ)
231peano2uzs 8527 . . . . 5 (𝑗𝑍 → (𝑗 + 1) ∈ 𝑍)
24 fveq2 5178 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑗 + 1)))
2524breq2d 3776 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑘) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
2625imbi2d 219 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)) ↔ (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
27 climserile.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
2827expcom 109 . . . . . . 7 (𝑘𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹𝑘)))
2926, 28vtoclga 2619 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1))))
3029impcom 116 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
3123, 30sylan2 270 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)))
3224eleq1d 2106 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
3332imbi2d 219 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑗 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)))
347expcom 109 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍 → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℝ))
3533, 34vtoclga 2619 . . . . . . 7 ((𝑗 + 1) ∈ 𝑍 → (𝜑 → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ))
3635impcom 116 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗 + 1) ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
3723, 36sylan2 270 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → (𝐹‘(𝑗 + 1)) ∈ ℝ)
3822, 37addge01d 7524 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑗 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1)))))
3931, 38mpbid 135 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
40 simpr 103 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
4140, 1syl6eleq 2130 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
429a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑗𝑍) → ℂ ∈ V)
4314adantlr 446 . . . . 5 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
4443recnd 7054 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4517adantl 262 . . . 4 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
4641, 42, 44, 45iseqp1 9225 . . 3 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑗 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) + (𝐹‘(𝑗 + 1))))
4739, 46breqtrrd 3790 . 2 ((𝜑𝑗𝑍) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑗) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘(𝑗 + 1)))
481, 2, 3, 22, 47climub 9864 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℂ)‘𝑁) ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764  ⟶wf 4898  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889  1c1 6890   + caddc 6892   ≤ cle 7061  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473  seqcseq 9211   ⇝ cli 9799 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-mulrcl 6983  ax-addcom 6984  ax-mulcom 6985  ax-addass 6986  ax-mulass 6987  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-1rid 6991  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-precex 6994  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-apti 6999  ax-pre-ltadd 7000  ax-pre-mulgt0 7001  ax-pre-mulext 7002  ax-arch 7003  ax-caucvg 7004 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-reap 7566  df-ap 7573  df-div 7652  df-inn 7915  df-2 7973  df-3 7974  df-4 7975  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-rp 8584  df-fz 8875  df-iseq 9212  df-iexp 9255  df-cj 9442  df-re 9443  df-im 9444  df-rsqrt 9596  df-abs 9597  df-clim 9800 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator