ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isermono GIF version

Theorem isermono 9211
Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
isermono.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
isermono.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
isermono.3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
isermono.4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
isermono (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem isermono
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isermono.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
2 elfzuz 8884 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
3 isermono.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
4 uztrn 8487 . . . 4 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
52, 3, 4syl2anr 274 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 reex 7013 . . . 4 ℝ ∈ V
76a1i 9 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → ℝ ∈ V)
8 isermono.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
98adantlr 446 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
10 readdcl 7005 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
1110adantl 262 . . 3 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
125, 7, 9, 11iseqcl 9197 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ∈ ℝ)
13 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)))
143adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
15 eluzelz 8480 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
1614, 15syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
171adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
18 eluzelz 8480 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝑁 ∈ ℤ)
1917, 18syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 peano2zm 8281 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
2119, 20syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
22 elfzelz 8888 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
2322adantl 262 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
24 1zzd 8270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℤ)
25 fzaddel 8920 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
2616, 21, 23, 24, 25syl22anc 1136 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1))))
2713, 26mpbid 135 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)))
28 zcn 8248 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29 ax-1cn 6975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
30 npcan 7218 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3128, 29, 30sylancl 392 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3219, 31syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3332oveq2d 5528 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ((𝐾 + 1)...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝐾 + 1)...𝑁))
3427, 33eleqtrd 2116 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁))
35 isermono.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
3635ralrimiva 2392 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
3736adantr 261 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥))
38 fveq2 5178 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3938breq2d 3776 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4039rspcv 2652 . . . . 5 ((𝑘 + 1) ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → (∀𝑥 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)0 ≤ (𝐹𝑥) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1))))
4134, 37, 40sylc 56 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)))
42 fzelp1 8934 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4342adantl 262 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
4432oveq2d 5528 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐾...𝑁))
4543, 44eleqtrd 2116 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁))
4645, 12syldan 266 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ∈ ℝ)
47 fzss1 8924 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
4814, 47syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
49 fzp1elp1 8935 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5049adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...((𝑁 − 1) + 1)))
5150, 44eleqtrd 2116 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝐾...𝑁))
5248, 51sseldd 2946 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
53 elfzuz 8884 . . . . . . 7 ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5452, 53syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
558ralrimiva 2392 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5655adantr 261 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5738eleq1d 2106 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
5857rspcv 2652 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))
5954, 56, 58sylc 56 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
6046, 59addge01d 7522 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (0 ≤ (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1)))))
6141, 60mpbid 135 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6245, 5syldan 266 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
636a1i 9 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → ℝ ∈ V)
648adantlr 446 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6510adantl 262 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6662, 63, 64, 65iseqp1 9199 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘(𝑘 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) + (𝐹‘(𝑘 + 1))))
6761, 66breqtrrd 3790 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐾...(𝑁 − 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑘) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘(𝑘 + 1)))
681, 12, 67monoord 9209 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝐾) ≤ (seq𝑀( + , 𝐹, ℝ)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98   = wceq 1243  wcel 1393  wral 2306  Vcvv 2557  wss 2917   class class class wbr 3764  cfv 4902  (class class class)co 5512  cc 6885  cr 6886  0cc0 6887  1c1 6888   + caddc 6890  cle 7059  cmin 7180  cz 8243  cuz 8471  ...cfz 8872  seqcseq 9185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-1cn 6975  ax-1re 6976  ax-icn 6977  ax-addcl 6978  ax-addrcl 6979  ax-mulcl 6980  ax-addcom 6982  ax-addass 6984  ax-distr 6986  ax-i2m1 6987  ax-0id 6990  ax-rnegex 6991  ax-cnre 6993  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996  ax-pre-ltadd 6998
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6400  df-pli 6401  df-mi 6402  df-lti 6403  df-plpq 6440  df-mpq 6441  df-enq 6443  df-nqqs 6444  df-plqqs 6445  df-mqqs 6446  df-1nqqs 6447  df-rq 6448  df-ltnqqs 6449  df-enq0 6520  df-nq0 6521  df-0nq0 6522  df-plq0 6523  df-mq0 6524  df-inp 6562  df-i1p 6563  df-iplp 6564  df-iltp 6566  df-enr 6809  df-nr 6810  df-ltr 6813  df-0r 6814  df-1r 6815  df-0 6894  df-1 6895  df-r 6897  df-lt 6900  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064  df-sub 7182  df-neg 7183  df-inn 7913  df-n0 8180  df-z 8244  df-uz 8472  df-fz 8873  df-iseq 9186
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator