ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ialgrp1 GIF version

Theorem ialgrp1 9885
Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at (𝐾 + 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
algrf.s (𝜑𝑆𝑉)
Assertion
Ref Expression
ialgrp1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))

Proof of Theorem ialgrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . . 4 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)
21fveq1i 5179 . . 3 (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘(𝐾 + 1))
3 simpr 103 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾𝑍)
4 algrf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleq 2130 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
6 algrf.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
76adantr 261 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝑆𝑉)
8 algrf.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
98adantr 261 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐴𝑆)
104, 9ialgrlemconst 9882 . . . 4 (((𝜑𝐾𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
11 algrf.5 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
1211adantr 261 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐹:𝑆𝑆)
1312ialgrlem1st 9881 . . . 4 (((𝜑𝐾𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
145, 7, 10, 13iseqp1 9225 . . 3 ((𝜑𝐾𝑍) → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
152, 14syl5eq 2084 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
165, 7, 10, 13iseqcl 9223 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾) ∈ 𝑆)
174peano2uzs 8527 . . . . . 6 (𝐾𝑍 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
18 fvconst2g 5375 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
198, 17, 18syl2an 273 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
2019, 9eqeltrd 2114 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆)
21 algrflemg 5851 . . . 4 (((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆) → ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)))
2216, 20, 21syl2anc 391 . . 3 ((𝜑𝐾𝑍) → ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)))
231fveq1i 5179 . . . 4 (𝑅𝐾) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)
2423fveq2i 5181 . . 3 (𝐹‘(𝑅𝐾)) = (𝐹‘(seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾))
2522, 24syl6reqr 2091 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}), 𝑆)‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
2615, 25eqtr4d 2075 1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97   = wceq 1243  wcel 1393  {csn 3375   × cxp 4343  ccom 4349  wf 4898  cfv 4902  (class class class)co 5512  1st c1st 5765  1c1 6890   + caddc 6892  cz 8245  cuz 8473  seqcseq 9211
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-iseq 9212
This theorem is referenced by:  ialginv  9886  ialgcvg  9887  ialgcvga  9890  ialgfx  9891
  Copyright terms: Public domain W3C validator