Theorem iseqshft2 9232

Description: Shifting the index set of a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqshft2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqshft2.2	|- ( ph -> K e. ZZ )
iseqshft2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
iseqshft2.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqshft2.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqshft2.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqshft2.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqshft2	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   k, F, x   y, F   k, G, x   y, G   k, K, x   y, K   k, M, x   y, M   k, N, x   y, N   x, S, y   ph, k, x   ph, y

Allowed substitution hints:   .+ ( k)   S( k)   V( x, y, k)

Proof of Theorem iseqshft2

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqshft2.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		eluzfz2 8896	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
4		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( w e. ( M ... N ) <-> M e. ( M ... N ) ) )
5		fveq2 5178	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
6		oveq1 5519	. . . . . . . 8 |- ( w = M -> ( w + K ) = ( M + K ) )
7	6	fveq2d 5182	. . . . . . 7 |- ( w = M -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2054	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) )
9	4, 8	imbi12d 223	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) )
10	9	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) ) )
11		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( w e. ( M ... N ) <-> n e. ( M ... N ) ) )
12		fveq2 5178	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
13		oveq1 5519	. . . . . . . 8 |- ( w = n -> ( w + K ) = ( n + K ) )
14	13	fveq2d 5182	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2054	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) )
16	11, 15	imbi12d 223	. . . . 5 |- ( w = n -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) )
17	16	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) ) )
18		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( w e. ( M ... N ) <-> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) )
19		fveq2 5178	. . . . . . 7 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
20		oveq1 5519	. . . . . . . 8 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( w + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
21	20	fveq2d 5182	. . . . . . 7 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
22	19, 21	eqeq12d 2054	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
23	18, 22	imbi12d 223	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
25		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( w e. ( M ... N ) <-> N e. ( M ... N ) ) )
26		fveq2 5178	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
27		oveq1 5519	. . . . . . . 8 |- ( w = N -> ( w + K ) = ( N + K ) )
28	27	fveq2d 5182	. . . . . . 7 |- ( w = N -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )
29	26, 28	eqeq12d 2054	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) <-> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) )
30	25, 29	imbi12d 223	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) <-> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 219	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( w e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( w + K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) ) )
32		eluzfz1 8895	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
33	1, 32	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
34		iseqshft2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
35	34	ralrimiva 2392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
36		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
37		oveq1 5519	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = M -> ( k + K ) = ( M + K ) )
38	37	fveq2d 5182	. . . . . . . . . 10 |- ( k = M -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
39	36, 38	eqeq12d 2054	. . . . . . . . 9 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
40	39	rspcv 2652	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) ) )
41	33, 35, 40	sylc 56	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` M ) = ( G ` ( M + K ) ) )
42		eluzel2 8478	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
43	1, 42	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
44		iseqshft2.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. V )
45		iseqshft2.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
46		iseqshft2.pl	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
47	43, 44, 45, 46	iseq1 9222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
48		iseqshft2.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. ZZ )
49	43, 48	zaddcld 8364	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + K ) e. ZZ )
50		iseqshft2.g	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
51	49, 44, 50, 46	iseq1 9222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) = ( G ` ( M + K ) ) )
52	41, 47, 51	3eqtr4d 2082	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) )
53	52	a1d 22	. . . . 5 |- ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) )
54	53	a1i 9	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( M e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( M + K ) ) ) ) )
55		peano2fzr 8901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> n e. ( M ... N ) )
56	55	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
57	56	expr 357	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> n e. ( M ... N ) ) )
58	57	imim1d 69	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) )
59		oveq1 5519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
60		simprl 483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
61	44	adantr 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> S e. V )
62	45	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
63	46	adantlr 446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
64	60, 61, 62, 63	iseqp1 9225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65	48	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> K e. ZZ )
66		eluzadd 8501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ K e. ZZ ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
67	60, 65, 66	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + K ) e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) )
68	50	adantlr 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` ( M + K ) ) ) -> ( G ` x ) e. S )
69	67, 61, 68, 63	iseqp1 9225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
70		eluzelz 8482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> n e. ZZ )
71	60, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> n e. ZZ )
72		zcn 8250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
73		zcn 8250	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
74		ax-1cn 6977	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
75		add32 7170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
76	74, 75	mp3an2 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. CC /\ K e. CC ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
77	72, 73, 76	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
78	71, 65, 77	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( n + 1 ) + K ) = ( ( n + K ) + 1 ) )
79	78	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
80		simprr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
81	35	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) )
82		fveq2 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
83		oveq1 5519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( k + K ) = ( ( n + 1 ) + K ) )
84	83	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( G ` ( k + K ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
85	82, 84	eqeq12d 2054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
86	85	rspcv 2652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) = ( G ` ( k + K ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
87	80, 81, 86	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) )
88	78	fveq2d 5182	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( G ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
89	87, 88	eqtrd 2072	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) = ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) )
90	89	oveq2d 5528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( G ` ( ( n + K ) + 1 ) ) ) )
91	69, 79, 90	3eqtr4d 2082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
92	64, 91	eqeq12d 2054	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) <-> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
93	59, 92	syl5ibr 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( n + 1 ) e. ( M ... N ) ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) )
94	93	expr 357	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
95	94	a2d 23	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
96	58, 95	syld 40	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) )
97	96	expcom 109	. . . . 5 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
98	97	a2d 23	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( n e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( n + K ) ) ) ) -> ( ph -> ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( ( n + 1 ) + K ) ) ) ) ) )
99	10, 17, 24, 31, 54, 98	uzind4 8531	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) ) )
100	1, 99	mpcom 32	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( M ... N ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) ) )
101	3, 100	mpd 13	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) = ( seq ( M + K ) ( .+ , G , S ) ` ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   1c1 6890   + caddc 6892   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874   seqcseq 9211

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875  df-iseq 9212

This theorem is referenced by: (None)