Theorem uzid 8487

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	|- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 8249	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2	1	leidd 7506	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M <_ M )
3	2	ancli 306	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) )
4		eluz1 8477	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( M e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ M <_ M ) ) )
5	3, 4	mpbird 156	1 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   e. wcel 1393   class class class wbr 3764   ` cfv 4902   <_ cle 7061   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-ov 5515  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-neg 7185  df-z 8246  df-uz 8474

This theorem is referenced by:  uzn0  8488  uz11  8495  eluzfz1  8895  eluzfz2  8896  elfz3  8898  elfz1end  8919  fzssp1  8930  fzpred  8932  fzp1ss  8935  fzpr  8939  fztp  8940  elfz0add  8979  fzolb  9009  zpnn0elfzo  9063  fzosplitsnm1  9065  fzofzp1  9083  fzosplitsn  9089  fzostep1  9093  frec2uzuzd  9188  frecuzrdgrrn  9194  frec2uzrdg  9195  frecuzrdgrom  9196  iseqfn  9221  iseq1  9222  iseqcl  9223  iseqp1  9225  iseqfveq  9230  iseq1p  9239  iseqcaopr3  9240  iseqhomo  9248  rexuz3  9588  r19.2uz  9591  resqrexlemcvg  9617  resqrexlemgt0  9618  resqrexlemoverl  9619  cau3lem  9710  caubnd2  9713  climconst  9811  climuni  9814  climcau  9866  serif0  9871  ialgr0  9883