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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > isermono | Unicode version |
Description: The partial sums in an infinite series of positive terms form a monotonic sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Aug-2021.) |
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isermono.1 |
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isermono.2 |
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isermono.3 |
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isermono.4 |
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isermono |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | isermono.2 |
. 2
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2 | elfzuz 8886 |
. . . 4
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3 | isermono.1 |
. . . 4
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4 | uztrn 8489 |
. . . 4
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5 | 2, 3, 4 | syl2anr 274 |
. . 3
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6 | reex 7015 |
. . . 4
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7 | 6 | a1i 9 |
. . 3
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8 | isermono.3 |
. . . 4
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9 | 8 | adantlr 446 |
. . 3
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10 | readdcl 7007 |
. . . 4
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11 | 10 | adantl 262 |
. . 3
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12 | 5, 7, 9, 11 | iseqcl 9223 |
. 2
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13 | simpr 103 |
. . . . . . 7
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14 | 3 | adantr 261 |
. . . . . . . . 9
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15 | eluzelz 8482 |
. . . . . . . . 9
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16 | 14, 15 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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17 | 1 | adantr 261 |
. . . . . . . . . 10
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18 | eluzelz 8482 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 17, 18 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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20 | peano2zm 8283 |
. . . . . . . . 9
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21 | 19, 20 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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22 | elfzelz 8890 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | adantl 262 |
. . . . . . . 8
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24 | 1zzd 8272 |
. . . . . . . 8
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25 | fzaddel 8922 |
. . . . . . . 8
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26 | 16, 21, 23, 24, 25 | syl22anc 1136 |
. . . . . . 7
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27 | 13, 26 | mpbid 135 |
. . . . . 6
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28 | zcn 8250 |
. . . . . . . . 9
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29 | ax-1cn 6977 |
. . . . . . . . 9
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30 | npcan 7220 |
. . . . . . . . 9
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31 | 28, 29, 30 | sylancl 392 |
. . . . . . . 8
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32 | 19, 31 | syl 14 |
. . . . . . 7
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33 | 32 | oveq2d 5528 |
. . . . . 6
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34 | 27, 33 | eleqtrd 2116 |
. . . . 5
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35 | isermono.4 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | ralrimiva 2392 |
. . . . . 6
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37 | 36 | adantr 261 |
. . . . 5
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38 | fveq2 5178 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | breq2d 3776 |
. . . . . 6
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40 | 39 | rspcv 2652 |
. . . . 5
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41 | 34, 37, 40 | sylc 56 |
. . . 4
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42 | fzelp1 8936 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | adantl 262 |
. . . . . . 7
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44 | 32 | oveq2d 5528 |
. . . . . . 7
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45 | 43, 44 | eleqtrd 2116 |
. . . . . 6
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46 | 45, 12 | syldan 266 |
. . . . 5
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47 | fzss1 8926 |
. . . . . . . . 9
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48 | 14, 47 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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49 | fzp1elp1 8937 |
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50 | 49 | adantl 262 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50, 44 | eleqtrd 2116 |
. . . . . . . 8
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52 | 48, 51 | sseldd 2946 |
. . . . . . 7
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53 | elfzuz 8886 |
. . . . . . 7
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54 | 52, 53 | syl 14 |
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55 | 8 | ralrimiva 2392 |
. . . . . . 7
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56 | 55 | adantr 261 |
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57 | 38 | eleq1d 2106 |
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58 | 57 | rspcv 2652 |
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59 | 54, 56, 58 | sylc 56 |
. . . . 5
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60 | 46, 59 | addge01d 7524 |
. . . 4
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61 | 41, 60 | mpbid 135 |
. . 3
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62 | 45, 5 | syldan 266 |
. . . 4
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63 | 6 | a1i 9 |
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64 | 8 | adantlr 446 |
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65 | 10 | adantl 262 |
. . . 4
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66 | 62, 63, 64, 65 | iseqp1 9225 |
. . 3
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67 | 61, 66 | breqtrrd 3790 |
. 2
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68 | 1, 12, 67 | monoord 9235 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 99 ax-ia2 100 ax-ia3 101 ax-in1 544 ax-in2 545 ax-io 630 ax-5 1336 ax-7 1337 ax-gen 1338 ax-ie1 1382 ax-ie2 1383 ax-8 1395 ax-10 1396 ax-11 1397 ax-i12 1398 ax-bndl 1399 ax-4 1400 ax-13 1404 ax-14 1405 ax-17 1419 ax-i9 1423 ax-ial 1427 ax-i5r 1428 ax-ext 2022 ax-coll 3872 ax-sep 3875 ax-nul 3883 ax-pow 3927 ax-pr 3944 ax-un 4170 ax-setind 4262 ax-iinf 4311 ax-cnex 6975 ax-resscn 6976 ax-1cn 6977 ax-1re 6978 ax-icn 6979 ax-addcl 6980 ax-addrcl 6981 ax-mulcl 6982 ax-addcom 6984 ax-addass 6986 ax-distr 6988 ax-i2m1 6989 ax-0id 6992 ax-rnegex 6993 ax-cnre 6995 ax-pre-ltirr 6996 ax-pre-ltwlin 6997 ax-pre-lttrn 6998 ax-pre-ltadd 7000 |
This theorem depends on definitions: df-bi 110 df-dc 743 df-3or 886 df-3an 887 df-tru 1246 df-fal 1249 df-nf 1350 df-sb 1646 df-eu 1903 df-mo 1904 df-clab 2027 df-cleq 2033 df-clel 2036 df-nfc 2167 df-ne 2206 df-nel 2207 df-ral 2311 df-rex 2312 df-reu 2313 df-rab 2315 df-v 2559 df-sbc 2765 df-csb 2853 df-dif 2920 df-un 2922 df-in 2924 df-ss 2931 df-nul 3225 df-pw 3361 df-sn 3381 df-pr 3382 df-op 3384 df-uni 3581 df-int 3616 df-iun 3659 df-br 3765 df-opab 3819 df-mpt 3820 df-tr 3855 df-eprel 4026 df-id 4030 df-po 4033 df-iso 4034 df-iord 4103 df-on 4105 df-suc 4108 df-iom 4314 df-xp 4351 df-rel 4352 df-cnv 4353 df-co 4354 df-dm 4355 df-rn 4356 df-res 4357 df-ima 4358 df-iota 4867 df-fun 4904 df-fn 4905 df-f 4906 df-f1 4907 df-fo 4908 df-f1o 4909 df-fv 4910 df-riota 5468 df-ov 5515 df-oprab 5516 df-mpt2 5517 df-1st 5767 df-2nd 5768 df-recs 5920 df-irdg 5957 df-frec 5978 df-1o 6001 df-2o 6002 df-oadd 6005 df-omul 6006 df-er 6106 df-ec 6108 df-qs 6112 df-ni 6402 df-pli 6403 df-mi 6404 df-lti 6405 df-plpq 6442 df-mpq 6443 df-enq 6445 df-nqqs 6446 df-plqqs 6447 df-mqqs 6448 df-1nqqs 6449 df-rq 6450 df-ltnqqs 6451 df-enq0 6522 df-nq0 6523 df-0nq0 6524 df-plq0 6525 df-mq0 6526 df-inp 6564 df-i1p 6565 df-iplp 6566 df-iltp 6568 df-enr 6811 df-nr 6812 df-ltr 6815 df-0r 6816 df-1r 6817 df-0 6896 df-1 6897 df-r 6899 df-lt 6902 df-pnf 7062 df-mnf 7063 df-xr 7064 df-ltxr 7065 df-le 7066 df-sub 7184 df-neg 7185 df-inn 7915 df-n0 8182 df-z 8246 df-uz 8474 df-fz 8875 df-iseq 9212 |
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