Theorem monoord2 9236

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
monoord2.2	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
monoord2.3	|- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )

Assertion

Ref	Expression
monoord2	|- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem monoord2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2.1	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		monoord2.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
3	2	renegcld 7378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... N ) ) -> -u ( F ` k ) e. RR )
4		eqid 2040	. . . . . 6 |- ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) = ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) )
5	3, 4	fmptd 5322	. . . . 5 |- ( ph -> ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) : ( M ... N ) --> RR )
6	5	ffvelrnda 5302	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... N ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) e. RR )
7		monoord2.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
8	7	ralrimiva 2392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) )
9		oveq1 5519	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( k + 1 ) = ( n + 1 ) )
10	9	fveq2d 5182	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
11		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
12	10, 11	breq12d 3777	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) ) )
13	12	cbvralv 2533	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( F ` k ) <-> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
14	8, 13	sylib 127	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
15	14	r19.21bi 2407	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) )
16		fzp1elp1 8937	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( M ... ( N - 1 ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
17	16	adantl 262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
18		eluzelz 8482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
19	1, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. ZZ )
20	19	zcnd 8361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. CC )
21		ax-1cn 6977	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
22		npcan 7220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
23	20, 21, 22	sylancl 392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
24	23	oveq2d 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
25	24	adantr 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( M ... N ) )
26	17, 25	eleqtrd 2116	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( n + 1 ) e. ( M ... N ) )
27	2	ralrimiva 2392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
28	27	adantr 261	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR )
29		fveq2 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
30	29	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
31	30	rspcv 2652	. . . . . . . 8 |- ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) )
32	26, 28, 31	sylc 56	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
33		fzssp1 8930	. . . . . . . . . 10 |- ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... ( ( N - 1 ) + 1 ) )
34	33, 24	syl5sseq 2993	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( N - 1 ) ) C_ ( M ... N ) )
35	34	sselda 2945	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> n e. ( M ... N ) )
36	11	eleq1d 2106	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` n ) e. RR ) )
37	36	rspcv 2652	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` n ) e. RR ) )
38	35, 28, 37	sylc 56	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( F ` n ) e. RR )
39	32, 38	lenegd 7515	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) <_ ( F ` n ) <-> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
40	15, 39	mpbid 135	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) <_ -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
41	38	renegcld 7378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` n ) e. RR )
42	11	negeqd 7206	. . . . . . 7 |- ( k = n -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` n ) )
43	42, 4	fvmptg 5248	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` n ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
44	35, 41, 43	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) = -u ( F ` n ) )
45	32	renegcld 7378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
46	29	negeqd 7206	. . . . . . 7 |- ( k = ( n + 1 ) -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
47	46, 4	fvmptg 5248	. . . . . 6 |- ( ( ( n + 1 ) e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
48	26, 45, 47	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) = -u ( F ` ( n + 1 ) ) )
49	40, 44, 48	3brtr4d 3794	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` n ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` ( n + 1 ) ) )
50	1, 6, 49	monoord 9235	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) <_ ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) )
51		eluzfz1 8895	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
52	1, 51	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( M ... N ) )
53		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> ( F ` k ) = ( F ` M ) )
54	53	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( k = M -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` M ) e. RR ) )
55	54	rspcv 2652	. . . . . 6 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` M ) e. RR ) )
56	52, 27, 55	sylc 56	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
57	56	renegcld 7378	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` M ) e. RR )
58	53	negeqd 7206	. . . . 5 |- ( k = M -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` M ) )
59	58, 4	fvmptg 5248	. . . 4 |- ( ( M e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` M ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
60	52, 57, 59	syl2anc 391	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` M ) = -u ( F ` M ) )
61		eluzfz2 8896	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
62	1, 61	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( M ... N ) )
63		fveq2 5178	. . . . . . . 8 |- ( k = N -> ( F ` k ) = ( F ` N ) )
64	63	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( k = N -> ( ( F ` k ) e. RR <-> ( F ` N ) e. RR ) )
65	64	rspcv 2652	. . . . . 6 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( F ` N ) e. RR ) )
66	62, 27, 65	sylc 56	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
67	66	renegcld 7378	. . . 4 |- ( ph -> -u ( F ` N ) e. RR )
68	63	negeqd 7206	. . . . 5 |- ( k = N -> -u ( F ` k ) = -u ( F ` N ) )
69	68, 4	fvmptg 5248	. . . 4 |- ( ( N e. ( M ... N ) /\ -u ( F ` N ) e. RR ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
70	62, 67, 69	syl2anc 391	. . 3 |- ( ph -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> -u ( F ` k ) ) ` N ) = -u ( F ` N ) )
71	50, 60, 70	3brtr3d 3793	. 2 |- ( ph -> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) )
72	66, 56	lenegd 7515	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` N ) <_ ( F ` M ) <-> -u ( F ` M ) <_ -u ( F ` N ) ) )
73	71, 72	mpbird 156	1 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( F ` M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   class class class wbr 3764   |-> cmpt 3818   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   CCcc 6887   RRcr 6888   1c1 6890   + caddc 6892   <_ cle 7061   - cmin 7182   -ucneg 7183   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473   ...cfz 8874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474  df-fz 8875

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