ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd Unicode version

Theorem frec2uzuzd 9188
Description: The value  G (see frec2uz0d 9185) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uz.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzzd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
2 simpr 103 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  y  =  A )
32eleq1d 2106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
y  e.  om  <->  A  e.  om ) )
42fveq2d 5182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
54eleq1d 2106 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
63, 5imbi12d 223 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  =  A )  ->  (
( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
7 fveq2 5178 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
87eleq1d 2106 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
9 fveq2 5178 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
109eleq1d 2106 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
11 fveq2 5178 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
1211eleq1d 2106 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
13 frec2uz.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
14 frec2uz.2 . . . . . . 7  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
1513, 14frec2uz0d 9185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  =  C )
16 uzid 8487 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
1713, 16syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C ) )
1815, 17eqeltrd 2114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 peano2uz 8526 . . . . . . 7  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
2013adantl 262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  C  e.  ZZ )
21 simpl 102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  z  e.  om )
2220, 14, 21frec2uzsucd 9187 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `  z )  +  1 ) )
2322eleq1d 2106 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( ( G `
 z )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2419, 23syl5ibr 145 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  om  /\  ph )  ->  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2524ex 108 . . . . 5  |-  ( z  e.  om  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) ) )
268, 10, 12, 18, 25finds2 4324 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( ph  ->  ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
2726com12 27 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  om  ->  ( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
281, 6, 27vtocld 2606 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  om  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
291, 28mpd 13 1  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243    e. wcel 1393   (/)c0 3224    |-> cmpt 3818   suc csuc 4102   omcom 4313   ` cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977   1c1 6890    + caddc 6892   ZZcz 8245   ZZ>=cuz 8473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  9189  frec2uzrand  9191  frec2uzrdg  9195  frecuzrdgsuc  9201
  Copyright terms: Public domain W3C validator