ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Structured version   Unicode version

Theorem frec2uzsucd 8848
Description: The value of  G (see frec2uz0d 8846) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1  C  ZZ
frec2uz.2  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
frec2uzzd.a  om
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd  G `  suc  G `  +  1
Distinct variable group:   , C
Allowed substitution hints:   ()   ()    G()

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4  C  ZZ
2 frec2uzzd.a . . . 4  om
3 zex 8010 . . . . . . . 8  ZZ  _V
43mptex 5330 . . . . . . 7  ZZ  |->  +  1  _V
5 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
64, 5fvex 5138 . . . . . 6  ZZ  |->  +  1 `  _V
76ax-gen 1335 . . . . 5  ZZ  |->  +  1 `  _V
8 frecsuc 5930 . . . . 5  ZZ  |->  +  1 `

_V  C  ZZ  om frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `
 suc  ZZ  |->  + 
1 ` frec  ZZ  |->  + 
1 ,  C `
97, 8mp3an1 1218 . . . 4  C  ZZ  om frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `  suc  ZZ  |->  +  1 ` frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `
101, 2, 9syl2anc 391 . . 3 frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `  suc  ZZ  |->  +  1 ` frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `
11 frec2uz.2 . . . 4  G frec  ZZ  |->  +  1 ,  C
1211fveq1i 5122 . . 3  G `
 suc frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `  suc
1311fveq1i 5122 . . . 4  G `
frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `
1413fveq2i 5124 . . 3  ZZ  |->  +  1 `  G `
 ZZ  |->  +  1 `
frec  ZZ  |->  +  1 ,  C `
1510, 12, 143eqtr4g 2094 . 2  G `  suc  ZZ  |->  +  1 `  G `
161, 11, 2frec2uzzd 8847 . . 3  G `  ZZ
17 oveq1 5462 . . . 4  G `  +  1  G `
 + 
1
18 oveq1 5462 . . . . 5  +  1  + 
1
1918cbvmptv 3843 . . . 4  ZZ  |->  +  1  ZZ  |->  + 
1
20 peano2z 8037 . . . 4  ZZ  +  1  ZZ
2117, 19, 20fvmpt3 5194 . . 3  G `  ZZ  ZZ  |->  +  1 `  G `
 G `
 + 
1
2216, 21syl 14 . 2  ZZ  |->  + 
1 `  G `  G `  +  1
2315, 22eqtrd 2069 1  G `  suc  G `  +  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4  wal 1240   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    |-> cmpt 3809   suc csuc 4068   omcom 4256   ` cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917   1c1 6692    + caddc 6694   ZZcz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-frec 5918  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  8849  frec2uzltd  8850  frec2uzrand  8852  frec2uzrdg  8856  frecuzrdgsuc  8862  frecfzennn  8864
  Copyright terms: Public domain W3C validator