Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd GIF version

Theorem frec2uzsucd 9187
 Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 9185) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uzzd.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ω)
3 zex 8254 . . . . . . . 8 ℤ ∈ V
43mptex 5387 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
5 vex 2560 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
64, 5fvex 5195 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑦) ∈ V
76ax-gen 1338 . . . . 5 𝑦((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑦) ∈ V
8 frecsuc 5991 . . . . 5 ((∀𝑦((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
97, 8mp3an1 1219 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
101, 2, 9syl2anc 391 . . 3 (𝜑 → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)))
11 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
1211fveq1i 5179 . . 3 (𝐺‘suc 𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝐴)
1311fveq1i 5179 . . . 4 (𝐺𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴)
1413fveq2i 5181 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝐴))
1510, 12, 143eqtr4g 2097 . 2 (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)))
161, 11, 2frec2uzzd 9186 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
17 oveq1 5519 . . . 4 (𝑧 = (𝐺𝐴) → (𝑧 + 1) = ((𝐺𝐴) + 1))
18 oveq1 5519 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
1918cbvmptv 3852 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
20 peano2z 8281 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
2117, 19, 20fvmpt3 5251 . . 3 ((𝐺𝐴) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)) = ((𝐺𝐴) + 1))
2216, 21syl 14 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝐴)) = ((𝐺𝐴) + 1))
2315, 22eqtrd 2072 1 (𝜑 → (𝐺‘suc 𝐴) = ((𝐺𝐴) + 1))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ↦ cmpt 3818  suc csuc 4102  ωcom 4313  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-recs 5920  df-frec 5978  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246 This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  9188  frec2uzltd  9189  frec2uzrand  9191  frec2uzrdg  9195  frecuzrdgsuc  9201  frecfzennn  9203
 Copyright terms: Public domain W3C validator