ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzsucd Structured version   GIF version

Theorem frec2uzsucd 8828
Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 8826) at a successor. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (φA 𝜔)
Assertion
Ref Expression
frec2uzsucd (φ → (𝐺‘suc A) = ((𝐺A) + 1))
Distinct variable group:   x,𝐶
Allowed substitution hints:   φ(x)   A(x)   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzsucd
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . 4 (φ𝐶 ℤ)
2 frec2uzzd.a . . . 4 (φA 𝜔)
3 zex 7990 . . . . . . . 8 V
43mptex 5330 . . . . . . 7 (x ℤ ↦ (x + 1)) V
5 vex 2554 . . . . . . 7 y V
64, 5fvex 5138 . . . . . 6 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘y) V
76ax-gen 1335 . . . . 5 y((x ℤ ↦ (x + 1))‘y) V
8 frecsuc 5930 . . . . 5 ((y((x ℤ ↦ (x + 1))‘y) V 𝐶 A 𝜔) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc A) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘A)))
97, 8mp3an1 1218 . . . 4 ((𝐶 A 𝜔) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc A) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘A)))
101, 2, 9syl2anc 391 . . 3 (φ → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc A) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘A)))
11 frec2uz.2 . . . 4 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
1211fveq1i 5122 . . 3 (𝐺‘suc A) = (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc A)
1311fveq1i 5122 . . . 4 (𝐺A) = (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘A)
1413fveq2i 5124 . . 3 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺A)) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘A))
1510, 12, 143eqtr4g 2094 . 2 (φ → (𝐺‘suc A) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺A)))
161, 11, 2frec2uzzd 8827 . . 3 (φ → (𝐺A) ℤ)
17 oveq1 5462 . . . 4 (z = (𝐺A) → (z + 1) = ((𝐺A) + 1))
18 oveq1 5462 . . . . 5 (x = z → (x + 1) = (z + 1))
1918cbvmptv 3843 . . . 4 (x ℤ ↦ (x + 1)) = (z ℤ ↦ (z + 1))
20 peano2z 8017 . . . 4 (z ℤ → (z + 1) ℤ)
2117, 19, 20fvmpt3 5194 . . 3 ((𝐺A) ℤ → ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺A)) = ((𝐺A) + 1))
2216, 21syl 14 . 2 (φ → ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺A)) = ((𝐺A) + 1))
2315, 22eqtrd 2069 1 (φ → (𝐺‘suc A) = ((𝐺A) + 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6672   + caddc 6674  cz 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-frec 5918  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982
This theorem is referenced by:  frec2uzuzd  8829  frec2uzltd  8830  frec2uzrand  8832  frec2uzrdg  8836  frecuzrdgsuc  8842  frecfzennn  8844
  Copyright terms: Public domain W3C validator