Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzzd GIF version

Theorem frec2uzzd 9186
 Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 9185) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzzd (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzzd
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ω)
2 simpr 103 . . . . 5 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → 𝑤 = 𝐴)
32eleq1d 2106 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → (𝑤 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
42fveq2d 5182 . . . . 5 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → (𝐺𝑤) = (𝐺𝐴))
54eleq1d 2106 . . . 4 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → ((𝐺𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺𝐴) ∈ ℤ))
63, 5imbi12d 223 . . 3 ((𝜑𝑤 = 𝐴) → ((𝑤 ∈ ω → (𝐺𝑤) ∈ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)))
7 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝐺𝑤) = (𝐺‘∅))
87eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝐺𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺‘∅) ∈ ℤ))
9 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝐺𝑤) = (𝐺𝑦))
109eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝐺𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺𝑦) ∈ ℤ))
11 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑤 = suc 𝑦 → (𝐺𝑤) = (𝐺‘suc 𝑦))
1211eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑤 = suc 𝑦 → ((𝐺𝑤) ∈ ℤ ↔ (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ))
13 frec2uz.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
14 frec2uz.2 . . . . . . 7 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
1513, 14frec2uz0d 9185 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
1615, 13eqeltrd 2114 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘∅) ∈ ℤ)
17 zex 8254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ∈ V
1817mptex 5387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) ∈ V
19 vex 2560 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
2018, 19fvex 5195 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
2120ax-gen 1338 . . . . . . . . . . . 12 𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V
22 frecsuc 5991 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘𝑧) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)))
2321, 22mp3an1 1219 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)))
2413, 23sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)))
2514fveq1i 5179 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘suc 𝑦) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘suc 𝑦)
2614fveq1i 5179 . . . . . . . . . . 11 (𝐺𝑦) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦)
2726fveq2i 5181 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝑦)) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)‘𝑦))
2824, 25, 273eqtr4g 2097 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝑦)))
29 oveq1 5519 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐺𝑦) → (𝑧 + 1) = ((𝐺𝑦) + 1))
30 oveq1 5519 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 + 1) = (𝑧 + 1))
3130cbvmptv 3852 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧 + 1))
32 peano2z 8281 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧 + 1) ∈ ℤ)
3329, 31, 32fvmpt3 5251 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑦) ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1))‘(𝐺𝑦)) = ((𝐺𝑦) + 1))
3428, 33sylan9eq 2092 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
35 peano2z 8281 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑦) ∈ ℤ → ((𝐺𝑦) + 1) ∈ ℤ)
3635adantl 262 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝑦) + 1) ∈ ℤ)
3734, 36eqeltrd 2114 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ω) ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ)
3837ex 108 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ω) → ((𝐺𝑦) ∈ ℤ → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ))
3938expcom 109 . . . . 5 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑦) ∈ ℤ → (𝐺‘suc 𝑦) ∈ ℤ)))
408, 10, 12, 16, 39finds2 4324 . . . 4 (𝑤 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑤) ∈ ℤ))
4140com12 27 . . 3 (𝜑 → (𝑤 ∈ ω → (𝐺𝑤) ∈ ℤ))
421, 6, 41vtocld 2606 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ ω → (𝐺𝐴) ∈ ℤ))
431, 42mpd 13 1 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1241   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  ∅c0 3224   ↦ cmpt 3818  suc csuc 4102  ωcom 4313  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-recs 5920  df-frec 5978  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246 This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  9187  frec2uzltd  9189  frec2uzlt2d  9190  frec2uzf1od  9192  frec2uzrdg  9195
 Copyright terms: Public domain W3C validator