ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzzd Structured version   GIF version

Theorem frec2uzzd 8847
Description: The value of 𝐺 (see frec2uz0d 8846) is an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (φA 𝜔)
Assertion
Ref Expression
frec2uzzd (φ → (𝐺A) ℤ)
Distinct variable group:   x,𝐶
Allowed substitution hints:   φ(x)   A(x)   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzzd
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2 (φA 𝜔)
2 simpr 103 . . . . 5 ((φ w = A) → w = A)
32eleq1d 2103 . . . 4 ((φ w = A) → (w 𝜔 ↔ A 𝜔))
42fveq2d 5125 . . . . 5 ((φ w = A) → (𝐺w) = (𝐺A))
54eleq1d 2103 . . . 4 ((φ w = A) → ((𝐺w) ℤ ↔ (𝐺A) ℤ))
63, 5imbi12d 223 . . 3 ((φ w = A) → ((w 𝜔 → (𝐺w) ℤ) ↔ (A 𝜔 → (𝐺A) ℤ)))
7 fveq2 5121 . . . . . 6 (w = ∅ → (𝐺w) = (𝐺‘∅))
87eleq1d 2103 . . . . 5 (w = ∅ → ((𝐺w) ℤ ↔ (𝐺‘∅) ℤ))
9 fveq2 5121 . . . . . 6 (w = y → (𝐺w) = (𝐺y))
109eleq1d 2103 . . . . 5 (w = y → ((𝐺w) ℤ ↔ (𝐺y) ℤ))
11 fveq2 5121 . . . . . 6 (w = suc y → (𝐺w) = (𝐺‘suc y))
1211eleq1d 2103 . . . . 5 (w = suc y → ((𝐺w) ℤ ↔ (𝐺‘suc y) ℤ))
13 frec2uz.1 . . . . . . 7 (φ𝐶 ℤ)
14 frec2uz.2 . . . . . . 7 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
1513, 14frec2uz0d 8846 . . . . . 6 (φ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
1615, 13eqeltrd 2111 . . . . 5 (φ → (𝐺‘∅) ℤ)
17 zex 8010 . . . . . . . . . . . . . . 15 V
1817mptex 5330 . . . . . . . . . . . . . 14 (x ℤ ↦ (x + 1)) V
19 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 z V
2018, 19fvex 5138 . . . . . . . . . . . . 13 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
2120ax-gen 1335 . . . . . . . . . . . 12 z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
22 frecsuc 5930 . . . . . . . . . . . 12 ((z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V 𝐶 y 𝜔) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc y) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘y)))
2321, 22mp3an1 1218 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 y 𝜔) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc y) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘y)))
2413, 23sylan 267 . . . . . . . . . 10 ((φ y 𝜔) → (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc y) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘y)))
2514fveq1i 5122 . . . . . . . . . 10 (𝐺‘suc y) = (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘suc y)
2614fveq1i 5122 . . . . . . . . . . 11 (𝐺y) = (frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘y)
2726fveq2i 5124 . . . . . . . . . 10 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺y)) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)‘y))
2824, 25, 273eqtr4g 2094 . . . . . . . . 9 ((φ y 𝜔) → (𝐺‘suc y) = ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺y)))
29 oveq1 5462 . . . . . . . . . 10 (z = (𝐺y) → (z + 1) = ((𝐺y) + 1))
30 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11 (x = z → (x + 1) = (z + 1))
3130cbvmptv 3843 . . . . . . . . . 10 (x ℤ ↦ (x + 1)) = (z ℤ ↦ (z + 1))
32 peano2z 8037 . . . . . . . . . 10 (z ℤ → (z + 1) ℤ)
3329, 31, 32fvmpt3 5194 . . . . . . . . 9 ((𝐺y) ℤ → ((x ℤ ↦ (x + 1))‘(𝐺y)) = ((𝐺y) + 1))
3428, 33sylan9eq 2089 . . . . . . . 8 (((φ y 𝜔) (𝐺y) ℤ) → (𝐺‘suc y) = ((𝐺y) + 1))
35 peano2z 8037 . . . . . . . . 9 ((𝐺y) ℤ → ((𝐺y) + 1) ℤ)
3635adantl 262 . . . . . . . 8 (((φ y 𝜔) (𝐺y) ℤ) → ((𝐺y) + 1) ℤ)
3734, 36eqeltrd 2111 . . . . . . 7 (((φ y 𝜔) (𝐺y) ℤ) → (𝐺‘suc y) ℤ)
3837ex 108 . . . . . 6 ((φ y 𝜔) → ((𝐺y) ℤ → (𝐺‘suc y) ℤ))
3938expcom 109 . . . . 5 (y 𝜔 → (φ → ((𝐺y) ℤ → (𝐺‘suc y) ℤ)))
408, 10, 12, 16, 39finds2 4267 . . . 4 (w 𝜔 → (φ → (𝐺w) ℤ))
4140com12 27 . . 3 (φ → (w 𝜔 → (𝐺w) ℤ))
421, 6, 41vtocld 2600 . 2 (φ → (A 𝜔 → (𝐺A) ℤ))
431, 42mpd 13 1 (φ → (𝐺A) ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  c0 3218  cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6692   + caddc 6694  cz 8001
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-recs 5861  df-frec 5918  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002
This theorem is referenced by:  frec2uzsucd  8848  frec2uzltd  8850  frec2uzlt2d  8851  frec2uzf1od  8853  frec2uzrdg  8856
  Copyright terms: Public domain W3C validator