Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzltd GIF version

Theorem frec2uzltd 9189
 Description: Less-than relation for 𝐺 (see frec2uz0d 9185). (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzltd (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzltd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzltd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ω)
2 eleq2 2101 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → (𝐴𝑧𝐴 ∈ ∅))
3 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑧 = ∅ → (𝐺𝑧) = (𝐺‘∅))
43breq2d 3776 . . . . 5 (𝑧 = ∅ → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
52, 4imbi12d 223 . . . 4 (𝑧 = ∅ → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))))
65imbi2d 219 . . 3 (𝑧 = ∅ → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))))
7 eleq2 2101 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴𝑦))
8 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑦))
98breq2d 3776 . . . . 5 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
107, 9imbi12d 223 . . . 4 (𝑧 = 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))))
1110imbi2d 219 . . 3 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))))
12 eleq2 2101 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐴𝑧𝐴 ∈ suc 𝑦))
13 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑧 = suc 𝑦 → (𝐺𝑧) = (𝐺‘suc 𝑦))
1413breq2d 3776 . . . . 5 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
1512, 14imbi12d 223 . . . 4 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
1615imbi2d 219 . . 3 (𝑧 = suc 𝑦 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
17 eleq2 2101 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → (𝐴𝑧𝐴𝐵))
18 fveq2 5178 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐵 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝐵))
1918breq2d 3776 . . . . 5 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑧) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
2017, 19imbi12d 223 . . . 4 (𝑧 = 𝐵 → ((𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧)) ↔ (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
2120imbi2d 219 . . 3 (𝑧 = 𝐵 → ((𝜑 → (𝐴𝑧 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑧))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))))
22 noel 3228 . . . . 5 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2322pm2.21i 575 . . . 4 (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅))
2423a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ∅ → (𝐺𝐴) < (𝐺‘∅)))
25 id 19 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)))
26 fveq2 5178 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))
2726a1i 9 . . . . . . 7 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 = 𝑦 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)))
2825, 27orim12d 700 . . . . . 6 ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
29 elsuc2g 4142 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ω → (𝐴 ∈ suc 𝑦 ↔ (𝐴𝑦𝐴 = 𝑦)))
3029bicomd 129 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
3130adantr 261 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) ↔ 𝐴 ∈ suc 𝑦))
32 frec2uz.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
3332adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐶 ∈ ℤ)
34 frec2uz.2 . . . . . . . . . 10 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
35 simpl 102 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ ω)
3633, 34, 35frec2uzsucd 9187 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑦) = ((𝐺𝑦) + 1))
3736breq2d 3776 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
38 frec2uzzd.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ω)
3938adantl 262 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ω)
4033, 34, 39frec2uzuzd 9188 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶))
4133, 34, 35frec2uzuzd 9188 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶))
42 eluzelz 8482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
43 eluzelz 8482 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
44 zleltp1 8299 . . . . . . . . . 10 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4542, 43, 44syl2an 273 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ (ℤ𝐶) ∧ (𝐺𝑦) ∈ (ℤ𝐶)) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4640, 41, 45syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ (𝐺𝐴) < ((𝐺𝑦) + 1)))
4733, 34, 39frec2uzzd 9186 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
4833, 34, 35frec2uzzd 9186 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺𝑦) ∈ ℤ)
49 zleloe 8292 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐺𝑦) ∈ ℤ) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5047, 48, 49syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐺𝐴) ≤ (𝐺𝑦) ↔ ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))))
5137, 46, 503bitr2rd 206 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦)) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))
5231, 51imbi12d 223 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → (((𝐴𝑦𝐴 = 𝑦) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝑦) ∨ (𝐺𝐴) = (𝐺𝑦))) ↔ (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5328, 52syl5ib 143 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝜑) → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦))))
5453ex 108 . . . 4 (𝑦 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦)) → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
5554a2d 23 . . 3 (𝑦 ∈ ω → ((𝜑 → (𝐴𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝑦))) → (𝜑 → (𝐴 ∈ suc 𝑦 → (𝐺𝐴) < (𝐺‘suc 𝑦)))))
566, 11, 16, 21, 24, 55finds 4323 . 2 (𝐵 ∈ ω → (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))))
571, 56mpcom 32 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 629   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∅c0 3224   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  suc csuc 4102  ωcom 4313  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060   ≤ cle 7061  ℤcz 8245  ℤ≥cuz 8473 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  frec2uzlt2d  9190  frec2uzf1od  9192
 Copyright terms: Public domain W3C validator