ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2z Structured version   GIF version

Theorem peano2z 8017
Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2z (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℤ)

Proof of Theorem peano2z
StepHypRef Expression
1 zre 7985 . . 3 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
2 1red 6800 . . 3 (𝑁 ℤ → 1 ℝ)
31, 2readdcld 6812 . 2 (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℝ)
4 elznn0nn 7995 . . . . 5 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
54biimpi 113 . . . 4 (𝑁 ℤ → (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
61biantrurd 289 . . . . 5 (𝑁 ℤ → (-𝑁 ℕ ↔ (𝑁 -𝑁 ℕ)))
76orbi2d 703 . . . 4 (𝑁 ℤ → ((𝑁 0 -𝑁 ℕ) ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ))))
85, 7mpbird 156 . . 3 (𝑁 ℤ → (𝑁 0 -𝑁 ℕ))
9 peano2nn0 7958 . . . . 5 (𝑁 0 → (𝑁 + 1) 0)
109a1i 9 . . . 4 (𝑁 ℤ → (𝑁 0 → (𝑁 + 1) 0))
111adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 𝑁 ℝ)
12 1red 6800 . . . . . . . . 9 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 1 ℝ)
1311, 12readdcld 6812 . . . . . . . 8 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (𝑁 + 1) ℝ)
1413renegcld 7134 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) ℝ)
1514recnd 6811 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) ℂ)
1611recnd 6811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 𝑁 ℂ)
17 1cnd 6801 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 1 ℂ)
1816, 17negdid 7091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
1918oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
2016negcld 7065 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -𝑁 ℂ)
21 neg1cn 7760 . . . . . . . . . . . 12 -1
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -1 ℂ)
2320, 22, 17addassd 6807 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
2419, 23eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25 ax-1cn 6736 . . . . . . . . . . 11 1
26 1pneg1e0 7766 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
2725, 21, 26addcomli 6915 . . . . . . . . . 10 (-1 + 1) = 0
2827oveq2i 5466 . . . . . . . . 9 (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
2924, 28syl6eq 2085 . . . . . . . 8 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
3020addid1d 6919 . . . . . . . 8 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
3129, 30eqtrd 2069 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -𝑁 ℕ)
3331, 32eqeltrd 2111 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ℕ)
34 elnn0nn 7960 . . . . . 6 (-(𝑁 + 1) 0 ↔ (-(𝑁 + 1) (-(𝑁 + 1) + 1) ℕ))
3515, 33, 34sylanbrc 394 . . . . 5 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) 0)
3635ex 108 . . . 4 (𝑁 ℤ → (-𝑁 ℕ → -(𝑁 + 1) 0))
3710, 36orim12d 699 . . 3 (𝑁 ℤ → ((𝑁 0 -𝑁 ℕ) → ((𝑁 + 1) 0 -(𝑁 + 1) 0)))
388, 37mpd 13 . 2 (𝑁 ℤ → ((𝑁 + 1) 0 -(𝑁 + 1) 0))
39 elznn0 7996 . 2 ((𝑁 + 1) ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ((𝑁 + 1) 0 -(𝑁 + 1) 0)))
403, 38, 39sylanbrc 394 1 (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6669  cr 6670  0cc0 6671  1c1 6672   + caddc 6674  -cneg 6940  cn 7655  0cn0 7917  cz 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982
This theorem is referenced by:  zaddcllempos  8018  peano2zm  8019  zleltp1  8035  btwnnz  8070  peano2uz2  8081  uzind  8085  uzind2  8086  peano2zd  8099  eluzp1m1  8232  eluzp1p1  8234  peano2uz  8262  fzp1disj  8672  elfzp1b  8689  fzneuz  8693  fzp1nel  8696  fzval3  8790  fzossfzop1  8798  frec2uzzd  8827  frec2uzsucd  8828  zesq  8980
  Copyright terms: Public domain W3C validator