ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  peano2z Structured version   GIF version

Theorem peano2z 8057
Description: Second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2z (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℤ)

Proof of Theorem peano2z
StepHypRef Expression
1 zre 8025 . . 3 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
2 1red 6840 . . 3 (𝑁 ℤ → 1 ℝ)
31, 2readdcld 6852 . 2 (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℝ)
4 elznn0nn 8035 . . . . 5 (𝑁 ℤ ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
54biimpi 113 . . . 4 (𝑁 ℤ → (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ)))
61biantrurd 289 . . . . 5 (𝑁 ℤ → (-𝑁 ℕ ↔ (𝑁 -𝑁 ℕ)))
76orbi2d 703 . . . 4 (𝑁 ℤ → ((𝑁 0 -𝑁 ℕ) ↔ (𝑁 0 (𝑁 -𝑁 ℕ))))
85, 7mpbird 156 . . 3 (𝑁 ℤ → (𝑁 0 -𝑁 ℕ))
9 peano2nn0 7998 . . . . 5 (𝑁 0 → (𝑁 + 1) 0)
109a1i 9 . . . 4 (𝑁 ℤ → (𝑁 0 → (𝑁 + 1) 0))
111adantr 261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 𝑁 ℝ)
12 1red 6840 . . . . . . . . 9 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 1 ℝ)
1311, 12readdcld 6852 . . . . . . . 8 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (𝑁 + 1) ℝ)
1413renegcld 7174 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) ℝ)
1514recnd 6851 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) ℂ)
1611recnd 6851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 𝑁 ℂ)
17 1cnd 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → 1 ℂ)
1816, 17negdid 7131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) = (-𝑁 + -1))
1918oveq1d 5470 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = ((-𝑁 + -1) + 1))
2016negcld 7105 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -𝑁 ℂ)
21 neg1cn 7800 . . . . . . . . . . . 12 -1
2221a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -1 ℂ)
2320, 22, 17addassd 6847 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → ((-𝑁 + -1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
2419, 23eqtrd 2069 . . . . . . . . 9 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + (-1 + 1)))
25 ax-1cn 6776 . . . . . . . . . . 11 1
26 1pneg1e0 7806 . . . . . . . . . . 11 (1 + -1) = 0
2725, 21, 26addcomli 6955 . . . . . . . . . 10 (-1 + 1) = 0
2827oveq2i 5466 . . . . . . . . 9 (-𝑁 + (-1 + 1)) = (-𝑁 + 0)
2924, 28syl6eq 2085 . . . . . . . 8 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = (-𝑁 + 0))
3020addid1d 6959 . . . . . . . 8 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-𝑁 + 0) = -𝑁)
3129, 30eqtrd 2069 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) = -𝑁)
32 simpr 103 . . . . . . 7 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -𝑁 ℕ)
3331, 32eqeltrd 2111 . . . . . 6 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → (-(𝑁 + 1) + 1) ℕ)
34 elnn0nn 8000 . . . . . 6 (-(𝑁 + 1) 0 ↔ (-(𝑁 + 1) (-(𝑁 + 1) + 1) ℕ))
3515, 33, 34sylanbrc 394 . . . . 5 ((𝑁 -𝑁 ℕ) → -(𝑁 + 1) 0)
3635ex 108 . . . 4 (𝑁 ℤ → (-𝑁 ℕ → -(𝑁 + 1) 0))
3710, 36orim12d 699 . . 3 (𝑁 ℤ → ((𝑁 0 -𝑁 ℕ) → ((𝑁 + 1) 0 -(𝑁 + 1) 0)))
388, 37mpd 13 . 2 (𝑁 ℤ → ((𝑁 + 1) 0 -(𝑁 + 1) 0))
39 elznn0 8036 . 2 ((𝑁 + 1) ℤ ↔ ((𝑁 + 1) ((𝑁 + 1) 0 -(𝑁 + 1) 0)))
403, 38, 39sylanbrc 394 1 (𝑁 ℤ → (𝑁 + 1) ℤ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   wcel 1390  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714  -cneg 6980  cn 7695  0cn0 7957  cz 8021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022
This theorem is referenced by:  zaddcllempos  8058  peano2zm  8059  zleltp1  8075  btwnnz  8110  peano2uz2  8121  uzind  8125  uzind2  8126  peano2zd  8139  eluzp1m1  8272  eluzp1p1  8274  peano2uz  8302  fzp1disj  8712  elfzp1b  8729  fzneuz  8733  fzp1nel  8736  fzval3  8830  fzossfzop1  8838  frec2uzzd  8867  frec2uzsucd  8868  zesq  9020
  Copyright terms: Public domain W3C validator