ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d Structured version   GIF version

Theorem frec2uzlt2d 8831
Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 8826) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (φA 𝜔)
frec2uzltd.b (φB 𝜔)
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d (φ → (A B ↔ (𝐺A) < (𝐺B)))
Distinct variable group:   x,𝐶
Allowed substitution hints:   φ(x)   A(x)   B(x)   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (φ𝐶 ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
3 frec2uzzd.a . . 3 (φA 𝜔)
4 frec2uzltd.b . . 3 (φB 𝜔)
51, 2, 3, 4frec2uzltd 8830 . 2 (φ → (A B → (𝐺A) < (𝐺B)))
6 nntri3or 6011 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔) → (A B A = B B A))
73, 4, 6syl2anc 391 . . 3 (φ → (A B A = B B A))
8 ax-1 5 . . . . 5 (A B → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B))
98a1i 9 . . . 4 (φ → (A B → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B)))
10 fveq2 5121 . . . . . . . . . 10 (A = B → (𝐺A) = (𝐺B))
1110adantl 262 . . . . . . . . 9 ((φ A = B) → (𝐺A) = (𝐺B))
1211breq2d 3767 . . . . . . . 8 ((φ A = B) → ((𝐺A) < (𝐺A) ↔ (𝐺A) < (𝐺B)))
1312biimpar 281 . . . . . . 7 (((φ A = B) (𝐺A) < (𝐺B)) → (𝐺A) < (𝐺A))
141, 2, 3frec2uzzd 8827 . . . . . . . . . . 11 (φ → (𝐺A) ℤ)
1514adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((φ A = B) → (𝐺A) ℤ)
1615adantr 261 . . . . . . . . 9 (((φ A = B) (𝐺A) < (𝐺B)) → (𝐺A) ℤ)
1716zred 8096 . . . . . . . 8 (((φ A = B) (𝐺A) < (𝐺B)) → (𝐺A) ℝ)
1817ltnrd 6886 . . . . . . 7 (((φ A = B) (𝐺A) < (𝐺B)) → ¬ (𝐺A) < (𝐺A))
1913, 18pm2.21dd 550 . . . . . 6 (((φ A = B) (𝐺A) < (𝐺B)) → A B)
2019ex 108 . . . . 5 ((φ A = B) → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B))
2120ex 108 . . . 4 (φ → (A = B → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B)))
221, 2, 4frec2uzzd 8827 . . . . . . . . 9 (φ → (𝐺B) ℤ)
2322adantr 261 . . . . . . . 8 ((φ B A) → (𝐺B) ℤ)
2423zred 8096 . . . . . . 7 ((φ B A) → (𝐺B) ℝ)
2514adantr 261 . . . . . . . 8 ((φ B A) → (𝐺A) ℤ)
2625zred 8096 . . . . . . 7 ((φ B A) → (𝐺A) ℝ)
271, 2, 4, 3frec2uzltd 8830 . . . . . . . 8 (φ → (B A → (𝐺B) < (𝐺A)))
2827imp 115 . . . . . . 7 ((φ B A) → (𝐺B) < (𝐺A))
2924, 26, 28ltnsymd 6893 . . . . . 6 ((φ B A) → ¬ (𝐺A) < (𝐺B))
3029pm2.21d 549 . . . . 5 ((φ B A) → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B))
3130ex 108 . . . 4 (φ → (B A → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B)))
329, 21, 313jaod 1198 . . 3 (φ → ((A B A = B B A) → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B)))
337, 32mpd 13 . 2 (φ → ((𝐺A) < (𝐺B) → A B))
345, 33impbid 120 1 (φ → (A B ↔ (𝐺A) < (𝐺B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cmpt 3809  𝜔com 4256  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6672   + caddc 6674   < clt 6817  cz 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-distr 6747  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-cnre 6754  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6614  df-nr 6615  df-ltr 6618  df-0r 6619  df-1r 6620  df-0 6678  df-1 6679  df-r 6681  df-lt 6684  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-sub 6941  df-neg 6942  df-inn 7656  df-n0 7918  df-z 7982  df-uz 8210
This theorem is referenced by:  frec2uzisod  8834
  Copyright terms: Public domain W3C validator