Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzlt2d GIF version

Theorem frec2uzlt2d 9190
 Description: The mapping 𝐺 (see frec2uz0d 9185) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (𝜑𝐴 ∈ ω)
frec2uzltd.b (𝜑𝐵 ∈ ω)
Assertion
Ref Expression
frec2uzlt2d (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem frec2uzlt2d
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
2 frec2uz.2 . . 3 𝐺 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶)
3 frec2uzzd.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ω)
4 frec2uzltd.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ω)
51, 2, 3, 4frec2uzltd 9189 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
6 nntri3or 6072 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
73, 4, 6syl2anc 391 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
8 ax-1 5 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
98a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
10 fveq2 5178 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = 𝐵 → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1110adantl 262 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) = (𝐺𝐵))
1211breq2d 3776 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐴) ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
1312biimpar 281 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
141, 2, 3frec2uzzd 9186 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1514adantr 261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1615adantr 261 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
1716zred 8360 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1817ltnrd 7129 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐴))
1913, 18pm2.21dd 550 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 𝐵) ∧ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)) → 𝐴𝐵)
2019ex 108 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
2120ex 108 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
221, 2, 4frec2uzzd 9186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2322adantr 261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℤ)
2423zred 8360 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) ∈ ℝ)
2514adantr 261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℤ)
2625zred 8360 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
271, 2, 4, 3frec2uzltd 9189 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴 → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴)))
2827imp 115 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵𝐴) → (𝐺𝐵) < (𝐺𝐴))
2924, 26, 28ltnsymd 7136 . . . . . 6 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵))
3029pm2.21d 549 . . . . 5 ((𝜑𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
3130ex 108 . . . 4 (𝜑 → (𝐵𝐴 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
329, 21, 313jaod 1199 . . 3 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵)))
337, 32mpd 13 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐴) < (𝐺𝐵) → 𝐴𝐵))
345, 33impbid 120 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐺𝐴) < (𝐺𝐵)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764   ↦ cmpt 3818  ωcom 4313  ‘cfv 4902  (class class class)co 5512  freccfrec 5977  1c1 6890   + caddc 6892   < clt 7060  ℤcz 8245 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-1re 6978  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998  ax-pre-ltadd 7000 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-frec 5978  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-1r 6817  df-0 6896  df-1 6897  df-r 6899  df-lt 6902  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-sub 7184  df-neg 7185  df-inn 7915  df-n0 8182  df-z 8246  df-uz 8474 This theorem is referenced by:  frec2uzisod  9193
 Copyright terms: Public domain W3C validator