ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzuzd Structured version   GIF version

Theorem frec2uzuzd 8849
Description: The value 𝐺 (see frec2uz0d 8846) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by Jim Kingdon, 16-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
frec2uzzd.a (φA 𝜔)
Assertion
Ref Expression
frec2uzuzd (φ → (𝐺A) (ℤ𝐶))
Distinct variable group:   x,𝐶
Allowed substitution hints:   φ(x)   A(x)   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzuzd
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uzzd.a . 2 (φA 𝜔)
2 simpr 103 . . . . 5 ((φ y = A) → y = A)
32eleq1d 2103 . . . 4 ((φ y = A) → (y 𝜔 ↔ A 𝜔))
42fveq2d 5125 . . . . 5 ((φ y = A) → (𝐺y) = (𝐺A))
54eleq1d 2103 . . . 4 ((φ y = A) → ((𝐺y) (ℤ𝐶) ↔ (𝐺A) (ℤ𝐶)))
63, 5imbi12d 223 . . 3 ((φ y = A) → ((y 𝜔 → (𝐺y) (ℤ𝐶)) ↔ (A 𝜔 → (𝐺A) (ℤ𝐶))))
7 fveq2 5121 . . . . . 6 (y = ∅ → (𝐺y) = (𝐺‘∅))
87eleq1d 2103 . . . . 5 (y = ∅ → ((𝐺y) (ℤ𝐶) ↔ (𝐺‘∅) (ℤ𝐶)))
9 fveq2 5121 . . . . . 6 (y = z → (𝐺y) = (𝐺z))
109eleq1d 2103 . . . . 5 (y = z → ((𝐺y) (ℤ𝐶) ↔ (𝐺z) (ℤ𝐶)))
11 fveq2 5121 . . . . . 6 (y = suc z → (𝐺y) = (𝐺‘suc z))
1211eleq1d 2103 . . . . 5 (y = suc z → ((𝐺y) (ℤ𝐶) ↔ (𝐺‘suc z) (ℤ𝐶)))
13 frec2uz.1 . . . . . . 7 (φ𝐶 ℤ)
14 frec2uz.2 . . . . . . 7 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
1513, 14frec2uz0d 8846 . . . . . 6 (φ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
16 uzid 8243 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → 𝐶 (ℤ𝐶))
1713, 16syl 14 . . . . . 6 (φ𝐶 (ℤ𝐶))
1815, 17eqeltrd 2111 . . . . 5 (φ → (𝐺‘∅) (ℤ𝐶))
19 peano2uz 8282 . . . . . . 7 ((𝐺z) (ℤ𝐶) → ((𝐺z) + 1) (ℤ𝐶))
2013adantl 262 . . . . . . . . 9 ((z 𝜔 φ) → 𝐶 ℤ)
21 simpl 102 . . . . . . . . 9 ((z 𝜔 φ) → z 𝜔)
2220, 14, 21frec2uzsucd 8848 . . . . . . . 8 ((z 𝜔 φ) → (𝐺‘suc z) = ((𝐺z) + 1))
2322eleq1d 2103 . . . . . . 7 ((z 𝜔 φ) → ((𝐺‘suc z) (ℤ𝐶) ↔ ((𝐺z) + 1) (ℤ𝐶)))
2419, 23syl5ibr 145 . . . . . 6 ((z 𝜔 φ) → ((𝐺z) (ℤ𝐶) → (𝐺‘suc z) (ℤ𝐶)))
2524ex 108 . . . . 5 (z 𝜔 → (φ → ((𝐺z) (ℤ𝐶) → (𝐺‘suc z) (ℤ𝐶))))
268, 10, 12, 18, 25finds2 4267 . . . 4 (y 𝜔 → (φ → (𝐺y) (ℤ𝐶)))
2726com12 27 . . 3 (φ → (y 𝜔 → (𝐺y) (ℤ𝐶)))
281, 6, 27vtocld 2600 . 2 (φ → (A 𝜔 → (𝐺A) (ℤ𝐶)))
291, 28mpd 13 1 (φ → (𝐺A) (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  c0 3218  cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6692   + caddc 6694  cz 8001  cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  frec2uzltd  8850  frec2uzrand  8852  frec2uzrdg  8856  frecuzrdgsuc  8862
  Copyright terms: Public domain W3C validator