Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand Structured version   GIF version

Theorem frec2uzrand 8872
 Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 8866). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand (φ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   x,𝐶   φ,x
Allowed substitution hint:   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2 (φ𝐶 ℤ)
2 zex 8030 . . . . . . . . . . 11 V
32mptex 5330 . . . . . . . . . 10 (x ℤ ↦ (x + 1)) V
4 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
53, 4fvex 5138 . . . . . . . . 9 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
65ax-gen 1335 . . . . . . . 8 z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
7 frecfnom 5925 . . . . . . . 8 ((z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V 𝐶 ℤ) → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
86, 7mpan 400 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
109fneq1i 4936 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 𝜔 ↔ frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
118, 10sylibr 137 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → 𝐺 Fn 𝜔)
12 fvelrnb 5164 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝜔 → (y ran 𝐺z 𝜔 (𝐺z) = y))
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺z 𝜔 (𝐺z) = y))
14 simpl 102 . . . . . . . 8 ((𝐶 z 𝜔) → 𝐶 ℤ)
15 simpr 103 . . . . . . . 8 ((𝐶 z 𝜔) → z 𝜔)
1614, 9, 15frec2uzuzd 8869 . . . . . . 7 ((𝐶 z 𝜔) → (𝐺z) (ℤ𝐶))
17 eleq1 2097 . . . . . . 7 ((𝐺z) = y → ((𝐺z) (ℤ𝐶) ↔ y (ℤ𝐶)))
1816, 17syl5ibcom 144 . . . . . 6 ((𝐶 z 𝜔) → ((𝐺z) = yy (ℤ𝐶)))
1918rexlimdva 2427 . . . . 5 (𝐶 ℤ → (z 𝜔 (𝐺z) = yy (ℤ𝐶)))
2013, 19sylbid 139 . . . 4 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺y (ℤ𝐶)))
21 eleq1 2097 . . . . 5 (w = 𝐶 → (w ran 𝐺𝐶 ran 𝐺))
22 eleq1 2097 . . . . 5 (w = y → (w ran 𝐺y ran 𝐺))
23 eleq1 2097 . . . . 5 (w = (y + 1) → (w ran 𝐺 ↔ (y + 1) ran 𝐺))
24 id 19 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → 𝐶 ℤ)
2524, 9frec2uz0d 8866 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26 peano1 4260 . . . . . . 7 𝜔
27 fnfvelrn 5242 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn 𝜔 𝜔) → (𝐺‘∅) ran 𝐺)
2811, 26, 27sylancl 392 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → (𝐺‘∅) ran 𝐺)
2925, 28eqeltrrd 2112 . . . . 5 (𝐶 ℤ → 𝐶 ran 𝐺)
30 eluzel2 8254 . . . . . 6 (y (ℤ𝐶) → 𝐶 ℤ)
3114, 9, 15frec2uzsucd 8868 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 z 𝜔) → (𝐺‘suc z) = ((𝐺z) + 1))
32 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺z) = y → ((𝐺z) + 1) = (y + 1))
3331, 32sylan9eq 2089 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 z 𝜔) (𝐺z) = y) → (𝐺‘suc z) = (y + 1))
34 peano2 4261 . . . . . . . . . . . 12 (z 𝜔 → suc z 𝜔)
35 fnfvelrn 5242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn 𝜔 suc z 𝜔) → (𝐺‘suc z) ran 𝐺)
3611, 34, 35syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 z 𝜔) → (𝐺‘suc z) ran 𝐺)
3736adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 z 𝜔) (𝐺z) = y) → (𝐺‘suc z) ran 𝐺)
3833, 37eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9 (((𝐶 z 𝜔) (𝐺z) = y) → (y + 1) ran 𝐺)
3938ex 108 . . . . . . . 8 ((𝐶 z 𝜔) → ((𝐺z) = y → (y + 1) ran 𝐺))
4039rexlimdva 2427 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → (z 𝜔 (𝐺z) = y → (y + 1) ran 𝐺))
4113, 40sylbid 139 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺 → (y + 1) ran 𝐺))
4230, 41syl 14 . . . . 5 (y (ℤ𝐶) → (y ran 𝐺 → (y + 1) ran 𝐺))
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 8307 . . . 4 (y (ℤ𝐶) → y ran 𝐺)
4420, 43impbid1 130 . . 3 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺y (ℤ𝐶)))
4544eqrdv 2035 . 2 (𝐶 ℤ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
461, 45syl 14 1 (φ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  Vcvv 2551  ∅c0 3218   ↦ cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  ran crn 4289   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ≥cuz 8249 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250 This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  8873
 Copyright terms: Public domain W3C validator