Theorem frec2uzrand 8872

Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 8866). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uz.1	⊢ (φ → 𝐶 ∈ ℤ)
frec2uz.2	⊢ 𝐺 = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
frec2uzrand	⊢ (φ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Distinct variable groups:   x,𝐶   φ,x

Allowed substitution hint:   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzrand

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uz.1	. 2 ⊢ (φ → 𝐶 ∈ ℤ)
2		zex 8030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℤ ∈ V
3	2	mptex 5330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℤ ↦ (x + 1)) ∈ V
4		vex 2554	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
5	3, 4	fvex 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℤ ↦ (x + 1))‘z) ∈ V
6	5	ax-gen 1335	. . . . . . . 8 ⊢ ∀z((x ∈ ℤ ↦ (x + 1))‘z) ∈ V
7		frecfnom 5925	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀z((x ∈ ℤ ↦ (x + 1))‘z) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
8	6, 7	mpan 400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
9		frec2uz.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
10	9	fneq1i 4936	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 Fn 𝜔 ↔ frec((x ∈ ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
11	8, 10	sylibr 137	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐺 Fn 𝜔)
12		fvelrnb 5164	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 Fn 𝜔 → (y ∈ ran 𝐺 ↔ ∃z ∈ 𝜔 (𝐺‘z) = y))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (y ∈ ran 𝐺 ↔ ∃z ∈ 𝜔 (𝐺‘z) = y))
14		simpl 102	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → 𝐶 ∈ ℤ)
15		simpr 103	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → z ∈ 𝜔)
16	14, 9, 15	frec2uzuzd 8869	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → (𝐺‘z) ∈ (ℤ≥‘𝐶))
17		eleq1 2097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘z) = y → ((𝐺‘z) ∈ (ℤ≥‘𝐶) ↔ y ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
18	16, 17	syl5ibcom 144	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → ((𝐺‘z) = y → y ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
19	18	rexlimdva 2427	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃z ∈ 𝜔 (𝐺‘z) = y → y ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	13, 19	sylbid 139	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (y ∈ ran 𝐺 → y ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
21		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (w = 𝐶 → (w ∈ ran 𝐺 ↔ 𝐶 ∈ ran 𝐺))
22		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (w = y → (w ∈ ran 𝐺 ↔ y ∈ ran 𝐺))
23		eleq1 2097	. . . . 5 ⊢ (w = (y + 1) → (w ∈ ran 𝐺 ↔ (y + 1) ∈ ran 𝐺))
24		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℤ)
25	24, 9	frec2uz0d 8866	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26		peano1 4260	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 𝜔
27		fnfvelrn 5242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 Fn 𝜔 ∧ ∅ ∈ 𝜔) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
28	11, 26, 27	sylancl 392	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
29	25, 28	eqeltrrd 2112	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ran 𝐺)
30		eluzel2 8254	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (ℤ≥‘𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
31	14, 9, 15	frec2uzsucd 8868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → (𝐺‘suc z) = ((𝐺‘z) + 1))
32		oveq1 5462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺‘z) = y → ((𝐺‘z) + 1) = (y + 1))
33	31, 32	sylan9eq 2089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘z) = y) → (𝐺‘suc z) = (y + 1))
34		peano2 4261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ 𝜔 → suc z ∈ 𝜔)
35		fnfvelrn 5242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 Fn 𝜔 ∧ suc z ∈ 𝜔) → (𝐺‘suc z) ∈ ran 𝐺)
36	11, 34, 35	syl2an 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → (𝐺‘suc z) ∈ ran 𝐺)
37	36	adantr 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘z) = y) → (𝐺‘suc z) ∈ ran 𝐺)
38	33, 37	eqeltrrd 2112	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) ∧ (𝐺‘z) = y) → (y + 1) ∈ ran 𝐺)
39	38	ex 108	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ z ∈ 𝜔) → ((𝐺‘z) = y → (y + 1) ∈ ran 𝐺))
40	39	rexlimdva 2427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (∃z ∈ 𝜔 (𝐺‘z) = y → (y + 1) ∈ ran 𝐺))
41	13, 40	sylbid 139	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (y ∈ ran 𝐺 → (y + 1) ∈ ran 𝐺))
42	30, 41	syl 14	. . . . 5 ⊢ (y ∈ (ℤ≥‘𝐶) → (y ∈ ran 𝐺 → (y + 1) ∈ ran 𝐺))
43	21, 22, 23, 22, 29, 42	uzind4 8307	. . . 4 ⊢ (y ∈ (ℤ≥‘𝐶) → y ∈ ran 𝐺)
44	20, 43	impbid1 130	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (y ∈ ran 𝐺 ↔ y ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
45	44	eqrdv 2035	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))
46	1, 45	syl 14	1 ⊢ (φ → ran 𝐺 = (ℤ≥‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  Vcvv 2551  ∅c0 3218   ↦ cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  ran crn 4289   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6712   + caddc 6714  ℤcz 8021  ℤ_≥cuz 8249

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250

This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  8873