ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzrand Structured version   GIF version

Theorem frec2uzrand 8852
Description: Range of 𝐺 (see frec2uz0d 8846). (Contributed by Jim Kingdon, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1 (φ𝐶 ℤ)
frec2uz.2 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
Assertion
Ref Expression
frec2uzrand (φ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
Distinct variable groups:   x,𝐶   φ,x
Allowed substitution hint:   𝐺(x)

Proof of Theorem frec2uzrand
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . 2 (φ𝐶 ℤ)
2 zex 8010 . . . . . . . . . . 11 V
32mptex 5330 . . . . . . . . . 10 (x ℤ ↦ (x + 1)) V
4 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
53, 4fvex 5138 . . . . . . . . 9 ((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
65ax-gen 1335 . . . . . . . 8 z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V
7 frecfnom 5925 . . . . . . . 8 ((z((x ℤ ↦ (x + 1))‘z) V 𝐶 ℤ) → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
86, 7mpan 400 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
9 frec2uz.2 . . . . . . . 8 𝐺 = frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶)
109fneq1i 4936 . . . . . . 7 (𝐺 Fn 𝜔 ↔ frec((x ℤ ↦ (x + 1)), 𝐶) Fn 𝜔)
118, 10sylibr 137 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → 𝐺 Fn 𝜔)
12 fvelrnb 5164 . . . . . 6 (𝐺 Fn 𝜔 → (y ran 𝐺z 𝜔 (𝐺z) = y))
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺z 𝜔 (𝐺z) = y))
14 simpl 102 . . . . . . . 8 ((𝐶 z 𝜔) → 𝐶 ℤ)
15 simpr 103 . . . . . . . 8 ((𝐶 z 𝜔) → z 𝜔)
1614, 9, 15frec2uzuzd 8849 . . . . . . 7 ((𝐶 z 𝜔) → (𝐺z) (ℤ𝐶))
17 eleq1 2097 . . . . . . 7 ((𝐺z) = y → ((𝐺z) (ℤ𝐶) ↔ y (ℤ𝐶)))
1816, 17syl5ibcom 144 . . . . . 6 ((𝐶 z 𝜔) → ((𝐺z) = yy (ℤ𝐶)))
1918rexlimdva 2427 . . . . 5 (𝐶 ℤ → (z 𝜔 (𝐺z) = yy (ℤ𝐶)))
2013, 19sylbid 139 . . . 4 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺y (ℤ𝐶)))
21 eleq1 2097 . . . . 5 (w = 𝐶 → (w ran 𝐺𝐶 ran 𝐺))
22 eleq1 2097 . . . . 5 (w = y → (w ran 𝐺y ran 𝐺))
23 eleq1 2097 . . . . 5 (w = (y + 1) → (w ran 𝐺 ↔ (y + 1) ran 𝐺))
24 id 19 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → 𝐶 ℤ)
2524, 9frec2uz0d 8846 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → (𝐺‘∅) = 𝐶)
26 peano1 4260 . . . . . . 7 𝜔
27 fnfvelrn 5242 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn 𝜔 𝜔) → (𝐺‘∅) ran 𝐺)
2811, 26, 27sylancl 392 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → (𝐺‘∅) ran 𝐺)
2925, 28eqeltrrd 2112 . . . . 5 (𝐶 ℤ → 𝐶 ran 𝐺)
30 eluzel2 8234 . . . . . 6 (y (ℤ𝐶) → 𝐶 ℤ)
3114, 9, 15frec2uzsucd 8848 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 z 𝜔) → (𝐺‘suc z) = ((𝐺z) + 1))
32 oveq1 5462 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺z) = y → ((𝐺z) + 1) = (y + 1))
3331, 32sylan9eq 2089 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 z 𝜔) (𝐺z) = y) → (𝐺‘suc z) = (y + 1))
34 peano2 4261 . . . . . . . . . . . 12 (z 𝜔 → suc z 𝜔)
35 fnfvelrn 5242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 Fn 𝜔 suc z 𝜔) → (𝐺‘suc z) ran 𝐺)
3611, 34, 35syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 z 𝜔) → (𝐺‘suc z) ran 𝐺)
3736adantr 261 . . . . . . . . . 10 (((𝐶 z 𝜔) (𝐺z) = y) → (𝐺‘suc z) ran 𝐺)
3833, 37eqeltrrd 2112 . . . . . . . . 9 (((𝐶 z 𝜔) (𝐺z) = y) → (y + 1) ran 𝐺)
3938ex 108 . . . . . . . 8 ((𝐶 z 𝜔) → ((𝐺z) = y → (y + 1) ran 𝐺))
4039rexlimdva 2427 . . . . . . 7 (𝐶 ℤ → (z 𝜔 (𝐺z) = y → (y + 1) ran 𝐺))
4113, 40sylbid 139 . . . . . 6 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺 → (y + 1) ran 𝐺))
4230, 41syl 14 . . . . 5 (y (ℤ𝐶) → (y ran 𝐺 → (y + 1) ran 𝐺))
4321, 22, 23, 22, 29, 42uzind4 8287 . . . 4 (y (ℤ𝐶) → y ran 𝐺)
4420, 43impbid1 130 . . 3 (𝐶 ℤ → (y ran 𝐺y (ℤ𝐶)))
4544eqrdv 2035 . 2 (𝐶 ℤ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
461, 45syl 14 1 (φ → ran 𝐺 = (ℤ𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  Vcvv 2551  c0 3218  cmpt 3809  suc csuc 4068  𝜔com 4256  ran crn 4289   Fn wfn 4840  cfv 4845  (class class class)co 5455  freccfrec 5917  1c1 6692   + caddc 6694  cz 8001  cuz 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltirr 6775  ax-pre-ltwlin 6776  ax-pre-lttrn 6777  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6406  df-nq0 6407  df-0nq0 6408  df-plq0 6409  df-mq0 6410  df-inp 6448  df-i1p 6449  df-iplp 6450  df-iltp 6452  df-enr 6634  df-nr 6635  df-ltr 6638  df-0r 6639  df-1r 6640  df-0 6698  df-1 6699  df-r 6701  df-lt 6704  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-inn 7676  df-n0 7938  df-z 8002  df-uz 8230
This theorem is referenced by:  frec2uzf1od  8853
  Copyright terms: Public domain W3C validator