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Theorem peano2 4214
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (A 𝜔 → suc A 𝜔)

Proof of Theorem peano2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2541 . 2 (A 𝜔 → A V)
2 ax-ia1 99 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → A V)
3 eleq1 2082 . . . . . . . 8 (x = A → (x zA z))
4 suceq 4062 . . . . . . . . 9 (x = A → suc x = suc A)
54eleq1d 2088 . . . . . . . 8 (x = A → (suc x z ↔ suc A z))
63, 5imbi12d 223 . . . . . . 7 (x = A → ((x z → suc x z) ↔ (A z → suc A z)))
76adantl 262 . . . . . 6 (((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) x = A) → ((x z → suc x z) ↔ (A z → suc A z)))
8 df-clab 2009 . . . . . . . . 9 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ [z / y](∅ y x y suc x y))
9 ax-ia2 100 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ y x y suc x y) → x y suc x y)
10 df-ral 2287 . . . . . . . . . . . 12 (x y suc x yx(x y → suc x y))
119, 10sylib 127 . . . . . . . . . . 11 ((∅ y x y suc x y) → x(x y → suc x y))
1211sbimi 1629 . . . . . . . . . 10 ([z / y](∅ y x y suc x y) → [z / y]x(x y → suc x y))
13 sbim 1808 . . . . . . . . . . . 12 ([z / y](x y → suc x y) ↔ ([z / y]x y → [z / y]suc x y))
14 elsb4 1834 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / y]x yx z)
15 clelsb4 2125 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / y]suc x y ↔ suc x z)
1614, 15imbi12i 228 . . . . . . . . . . . 12 (([z / y]x y → [z / y]suc x y) ↔ (x z → suc x z))
1713, 16bitri 173 . . . . . . . . . . 11 ([z / y](x y → suc x y) ↔ (x z → suc x z))
1817sbalv 1862 . . . . . . . . . 10 ([z / y]x(x y → suc x y) ↔ x(x z → suc x z))
1912, 18sylib 127 . . . . . . . . 9 ([z / y](∅ y x y suc x y) → x(x z → suc x z))
208, 19sylbi 114 . . . . . . . 8 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → x(x z → suc x z))
212019.21bi 1434 . . . . . . 7 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → (x z → suc x z))
2221adantl 262 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → (x z → suc x z))
23 nfv 1403 . . . . . . 7 x A V
24 nfv 1403 . . . . . . . . 9 x y
25 nfra1 2331 . . . . . . . . 9 xx y suc x y
2624, 25nfan 1441 . . . . . . . 8 x(∅ y x y suc x y)
2726nfsab 2014 . . . . . . 7 x z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}
2823, 27nfan 1441 . . . . . 6 x(A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
29 nfcvd 2161 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → xA)
30 nfvd 1404 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → Ⅎx(A z → suc A z))
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2580 . . . . 5 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → (A z → suc A z))
3231ralrimiva 2368 . . . 4 (A V → z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z))
33 ralim 2356 . . . . 5 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z) → (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A zz {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
34 elintg 3575 . . . . . 6 (A V → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A z))
35 sucexg 4147 . . . . . . 7 (A V → suc A V)
36 elintg 3575 . . . . . . 7 (suc A V → (suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (A V → (suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
3834, 37imbi12d 223 . . . . 5 (A V → ((A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) ↔ (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A zz {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z)))
3933, 38syl5ibr 145 . . . 4 (A V → (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z) → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})))
4032, 39mpd 13 . . 3 (A V → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)}))
41 dfom3 4211 . . . 4 𝜔 = {y ∣ (∅ y x y suc x y)}
4241eleq2i 2086 . . 3 (A 𝜔 ↔ A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
4341eleq2i 2086 . . 3 (suc A 𝜔 ↔ suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
4440, 42, 433imtr4g 194 . 2 (A V → (A 𝜔 → suc A 𝜔))
451, 44mpcom 32 1 (A 𝜔 → suc A 𝜔)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1314   = wceq 1373   wcel 1375  [wsb 1627  {cab 2008  wral 2282  Vcvv 2533  c0 3202   cint 3567  suc csuc 4026  𝜔com 4209
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1315  ax-7 1316  ax-gen 1317  ax-ie1 1362  ax-ie2 1363  ax-8 1377  ax-10 1378  ax-11 1379  ax-i12 1380  ax-bnd 1381  ax-4 1382  ax-13 1386  ax-14 1387  ax-17 1401  ax-i9 1405  ax-ial 1410  ax-i5r 1411  ax-ext 2004  ax-sep 3827  ax-pow 3879  ax-pr 3896  ax-un 4093
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 877  df-tru 1231  df-nf 1329  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2287  df-rex 2288  df-v 2535  df-un 2900  df-in 2902  df-ss 2909  df-pw 3313  df-sn 3333  df-pr 3334  df-uni 3533  df-int 3568  df-suc 4031  df-iom 4210
This theorem is referenced by:  peano5  4217  limom  4232  peano2b  4233  frecsuclem1  5869  frecsuclem3  5872
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