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Theorem peano2 4245
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (A 𝜔 → suc A 𝜔)

Proof of Theorem peano2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2543 . 2 (A 𝜔 → A V)
2 ax-ia1 99 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → A V)
3 eleq1 2082 . . . . . . . 8 (x = A → (x zA z))
4 suceq 4088 . . . . . . . . 9 (x = A → suc x = suc A)
54eleq1d 2088 . . . . . . . 8 (x = A → (suc x z ↔ suc A z))
63, 5imbi12d 223 . . . . . . 7 (x = A → ((x z → suc x z) ↔ (A z → suc A z)))
76adantl 262 . . . . . 6 (((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) x = A) → ((x z → suc x z) ↔ (A z → suc A z)))
8 df-clab 2009 . . . . . . . . 9 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ [z / y](∅ y x y suc x y))
9 ax-ia2 100 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ y x y suc x y) → x y suc x y)
10 df-ral 2289 . . . . . . . . . . . 12 (x y suc x yx(x y → suc x y))
119, 10sylib 127 . . . . . . . . . . 11 ((∅ y x y suc x y) → x(x y → suc x y))
1211sbimi 1629 . . . . . . . . . 10 ([z / y](∅ y x y suc x y) → [z / y]x(x y → suc x y))
13 sbim 1809 . . . . . . . . . . . 12 ([z / y](x y → suc x y) ↔ ([z / y]x y → [z / y]suc x y))
14 elsb4 1835 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / y]x yx z)
15 clelsb4 2125 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / y]suc x y ↔ suc x z)
1614, 15imbi12i 228 . . . . . . . . . . . 12 (([z / y]x y → [z / y]suc x y) ↔ (x z → suc x z))
1713, 16bitri 173 . . . . . . . . . . 11 ([z / y](x y → suc x y) ↔ (x z → suc x z))
1817sbalv 1863 . . . . . . . . . 10 ([z / y]x(x y → suc x y) ↔ x(x z → suc x z))
1912, 18sylib 127 . . . . . . . . 9 ([z / y](∅ y x y suc x y) → x(x z → suc x z))
208, 19sylbi 114 . . . . . . . 8 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → x(x z → suc x z))
212019.21bi 1432 . . . . . . 7 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → (x z → suc x z))
2221adantl 262 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → (x z → suc x z))
23 nfv 1402 . . . . . . 7 x A V
24 nfv 1402 . . . . . . . . 9 x y
25 nfra1 2333 . . . . . . . . 9 xx y suc x y
2624, 25nfan 1439 . . . . . . . 8 x(∅ y x y suc x y)
2726nfsab 2014 . . . . . . 7 x z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}
2823, 27nfan 1439 . . . . . 6 x(A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
29 nfcvd 2161 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → xA)
30 nfvd 1403 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → Ⅎx(A z → suc A z))
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2582 . . . . 5 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → (A z → suc A z))
3231ralrimiva 2370 . . . 4 (A V → z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z))
33 ralim 2358 . . . . 5 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z) → (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A zz {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
34 elintg 3597 . . . . . 6 (A V → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A z))
35 sucexg 4174 . . . . . . 7 (A V → suc A V)
36 elintg 3597 . . . . . . 7 (suc A V → (suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (A V → (suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
3834, 37imbi12d 223 . . . . 5 (A V → ((A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) ↔ (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A zz {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z)))
3933, 38syl5ibr 145 . . . 4 (A V → (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z) → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})))
4032, 39mpd 13 . . 3 (A V → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)}))
41 dfom3 4242 . . . 4 𝜔 = {y ∣ (∅ y x y suc x y)}
4241eleq2i 2086 . . 3 (A 𝜔 ↔ A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
4341eleq2i 2086 . . 3 (suc A 𝜔 ↔ suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
4440, 42, 433imtr4g 194 . 2 (A V → (A 𝜔 → suc A 𝜔))
451, 44mpcom 32 1 (A 𝜔 → suc A 𝜔)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1226   = wceq 1228   wcel 1374  [wsb 1627  {cab 2008  wral 2284  Vcvv 2535  c0 3201   cint 3589  suc csuc 4051  𝜔com 4240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-suc 4057  df-iom 4241
This theorem is referenced by:  peano5  4248  limom  4263  peano2b  4264  nnregexmid  4269  frecsuclem1  5903  frecsuclem3  5906  frecrdg  5908  nnacl  5974  nnacom  5978  nnmsucr  5982  nnsucsssuc  5986  nnaword  5995  1onn  6004  2onn  6005  3onn  6006  4onn  6007  nnaordex  6011
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