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Theorem peano2 4260
Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
peano2 (A 𝜔 → suc A 𝜔)

Proof of Theorem peano2
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2 (A 𝜔 → A V)
2 simpl 102 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → A V)
3 eleq1 2097 . . . . . . . 8 (x = A → (x zA z))
4 suceq 4104 . . . . . . . . 9 (x = A → suc x = suc A)
54eleq1d 2103 . . . . . . . 8 (x = A → (suc x z ↔ suc A z))
63, 5imbi12d 223 . . . . . . 7 (x = A → ((x z → suc x z) ↔ (A z → suc A z)))
76adantl 262 . . . . . 6 (((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) x = A) → ((x z → suc x z) ↔ (A z → suc A z)))
8 df-clab 2024 . . . . . . . . 9 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ [z / y](∅ y x y suc x y))
9 simpr 103 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ y x y suc x y) → x y suc x y)
10 df-ral 2305 . . . . . . . . . . . 12 (x y suc x yx(x y → suc x y))
119, 10sylib 127 . . . . . . . . . . 11 ((∅ y x y suc x y) → x(x y → suc x y))
1211sbimi 1644 . . . . . . . . . 10 ([z / y](∅ y x y suc x y) → [z / y]x(x y → suc x y))
13 sbim 1824 . . . . . . . . . . . 12 ([z / y](x y → suc x y) ↔ ([z / y]x y → [z / y]suc x y))
14 elsb4 1850 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / y]x yx z)
15 clelsb4 2140 . . . . . . . . . . . . 13 ([z / y]suc x y ↔ suc x z)
1614, 15imbi12i 228 . . . . . . . . . . . 12 (([z / y]x y → [z / y]suc x y) ↔ (x z → suc x z))
1713, 16bitri 173 . . . . . . . . . . 11 ([z / y](x y → suc x y) ↔ (x z → suc x z))
1817sbalv 1878 . . . . . . . . . 10 ([z / y]x(x y → suc x y) ↔ x(x z → suc x z))
1912, 18sylib 127 . . . . . . . . 9 ([z / y](∅ y x y suc x y) → x(x z → suc x z))
208, 19sylbi 114 . . . . . . . 8 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → x(x z → suc x z))
212019.21bi 1447 . . . . . . 7 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → (x z → suc x z))
2221adantl 262 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → (x z → suc x z))
23 nfv 1418 . . . . . . 7 x A V
24 nfv 1418 . . . . . . . . 9 x y
25 nfra1 2349 . . . . . . . . 9 xx y suc x y
2624, 25nfan 1454 . . . . . . . 8 x(∅ y x y suc x y)
2726nfsab 2029 . . . . . . 7 x z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}
2823, 27nfan 1454 . . . . . 6 x(A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
29 nfcvd 2176 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → xA)
30 nfvd 1419 . . . . . 6 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → Ⅎx(A z → suc A z))
312, 7, 22, 28, 29, 30vtocldf 2599 . . . . 5 ((A V z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) → (A z → suc A z))
3231ralrimiva 2386 . . . 4 (A V → z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z))
33 ralim 2374 . . . . 5 (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z) → (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A zz {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
34 elintg 3613 . . . . . 6 (A V → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A z))
35 sucexg 4189 . . . . . . 7 (A V → suc A V)
36 elintg 3613 . . . . . . 7 (suc A V → (suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 (A V → (suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} ↔ z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z))
3834, 37imbi12d 223 . . . . 5 (A V → ((A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)}) ↔ (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)}A zz {y ∣ (∅ y x y suc x y)}suc A z)))
3933, 38syl5ibr 145 . . . 4 (A V → (z {y ∣ (∅ y x y suc x y)} (A z → suc A z) → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})))
4032, 39mpd 13 . . 3 (A V → (A {y ∣ (∅ y x y suc x y)} → suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)}))
41 dfom3 4257 . . . 4 𝜔 = {y ∣ (∅ y x y suc x y)}
4241eleq2i 2101 . . 3 (A 𝜔 ↔ A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
4341eleq2i 2101 . . 3 (suc A 𝜔 ↔ suc A {y ∣ (∅ y x y suc x y)})
4440, 42, 433imtr4g 194 . 2 (A V → (A 𝜔 → suc A 𝜔))
451, 44mpcom 32 1 (A 𝜔 → suc A 𝜔)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  [wsb 1642  {cab 2023  wral 2300  Vcvv 2551  c0 3218   cint 3605  suc csuc 4067  𝜔com 4255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-uni 3571  df-int 3606  df-suc 4073  df-iom 4256
This theorem is referenced by:  peano5  4263  limom  4278  peano2b  4279  nnregexmid  4284  frecsuclem1  5920  frecsuclem3  5923  frecrdg  5925  nnacl  5991  nnacom  5995  nnmsucr  5999  nnsucsssuc  6003  nnaword  6013  1onn  6022  2onn  6023  3onn  6024  4onn  6025  nnaordex  6029  frec2uzrand  8818  frecfzennn  8822
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