ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3onn Structured version   GIF version

Theorem 3onn 6031
Description: The ordinal 3 is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2016.)
Assertion
Ref Expression
3onn 3𝑜 𝜔

Proof of Theorem 3onn
StepHypRef Expression
1 df-3o 5942 . 2 3𝑜 = suc 2𝑜
2 2onn 6030 . . 3 2𝑜 𝜔
3 peano2 4261 . . 3 (2𝑜 𝜔 → suc 2𝑜 𝜔)
42, 3ax-mp 7 . 2 suc 2𝑜 𝜔
51, 4eqeltri 2107 1 3𝑜 𝜔
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wcel 1390  suc csuc 4068  𝜔com 4256  2𝑜c2o 5934  3𝑜c3o 5935
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-1o 5940  df-2o 5941  df-3o 5942
This theorem is referenced by:  4onn  6032
  Copyright terms: Public domain W3C validator