ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limom Structured version   GIF version

Theorem limom 4263
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
limom Lim 𝜔

Proof of Theorem limom
Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4256 . 2 Ord 𝜔
2 peano1 4244 . 2 𝜔
3 vex 2538 . . . . . . . . 9 x V
43sucex 4175 . . . . . . . 8 suc x V
54isseti 2541 . . . . . . 7 z z = suc x
6 peano2 4245 . . . . . . . . 9 (x 𝜔 → suc x 𝜔)
73sucid 4103 . . . . . . . . 9 x suc x
86, 7jctil 295 . . . . . . . 8 (x 𝜔 → (x suc x suc x 𝜔))
9 eleq2 2083 . . . . . . . . 9 (z = suc x → (x zx suc x))
10 eleq1 2082 . . . . . . . . 9 (z = suc x → (z 𝜔 ↔ suc x 𝜔))
119, 10anbi12d 445 . . . . . . . 8 (z = suc x → ((x z z 𝜔) ↔ (x suc x suc x 𝜔)))
128, 11syl5ibr 145 . . . . . . 7 (z = suc x → (x 𝜔 → (x z z 𝜔)))
135, 12eximii 1475 . . . . . 6 z(x 𝜔 → (x z z 𝜔))
141319.37aiv 1547 . . . . 5 (x 𝜔 → z(x z z 𝜔))
15 eluni 3557 . . . . 5 (x 𝜔 ↔ z(x z z 𝜔))
1614, 15sylibr 137 . . . 4 (x 𝜔 → x 𝜔)
1716ssriv 2926 . . 3 𝜔 ⊆ 𝜔
18 orduniss 4112 . . . 4 (Ord 𝜔 → 𝜔 ⊆ 𝜔)
191, 18ax-mp 7 . . 3 𝜔 ⊆ 𝜔
2017, 19eqssi 2938 . 2 𝜔 = 𝜔
21 dflim2 4056 . 2 (Lim 𝜔 ↔ (Ord 𝜔 𝜔 𝜔 = 𝜔))
221, 2, 20, 21mpbir3an 1071 1 Lim 𝜔
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wss 2894  c0 3201   cuni 3554  Ord word 4048  Lim wlim 4050  suc csuc 4051  𝜔com 4240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-iinf 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-tr 3829  df-iord 4052  df-ilim 4055  df-suc 4057  df-iom 4241
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator