ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limom Structured version   GIF version

Theorem limom 4279
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof rewritten by Jim Kingdon, 5-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
limom Lim 𝜔

Proof of Theorem limom
Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4272 . 2 Ord 𝜔
2 peano1 4260 . 2 𝜔
3 vex 2554 . . . . . . . . 9 x V
43sucex 4191 . . . . . . . 8 suc x V
54isseti 2557 . . . . . . 7 z z = suc x
6 peano2 4261 . . . . . . . . 9 (x 𝜔 → suc x 𝜔)
73sucid 4120 . . . . . . . . 9 x suc x
86, 7jctil 295 . . . . . . . 8 (x 𝜔 → (x suc x suc x 𝜔))
9 eleq2 2098 . . . . . . . . 9 (z = suc x → (x zx suc x))
10 eleq1 2097 . . . . . . . . 9 (z = suc x → (z 𝜔 ↔ suc x 𝜔))
119, 10anbi12d 442 . . . . . . . 8 (z = suc x → ((x z z 𝜔) ↔ (x suc x suc x 𝜔)))
128, 11syl5ibr 145 . . . . . . 7 (z = suc x → (x 𝜔 → (x z z 𝜔)))
135, 12eximii 1490 . . . . . 6 z(x 𝜔 → (x z z 𝜔))
141319.37aiv 1562 . . . . 5 (x 𝜔 → z(x z z 𝜔))
15 eluni 3574 . . . . 5 (x 𝜔 ↔ z(x z z 𝜔))
1614, 15sylibr 137 . . . 4 (x 𝜔 → x 𝜔)
1716ssriv 2943 . . 3 𝜔 ⊆ 𝜔
18 orduniss 4128 . . . 4 (Ord 𝜔 → 𝜔 ⊆ 𝜔)
191, 18ax-mp 7 . . 3 𝜔 ⊆ 𝜔
2017, 19eqssi 2955 . 2 𝜔 = 𝜔
21 dflim2 4073 . 2 (Lim 𝜔 ↔ (Ord 𝜔 𝜔 𝜔 = 𝜔))
221, 2, 20, 21mpbir3an 1085 1 Lim 𝜔
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wss 2911  c0 3218   cuni 3571  Ord word 4065  Lim wlim 4067  suc csuc 4068  𝜔com 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-tr 3846  df-iord 4069  df-ilim 4072  df-suc 4074  df-iom 4257
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator