ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordom Structured version   GIF version

Theorem ordom 4272
Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.)
Assertion
Ref Expression
ordom Ord 𝜔

Proof of Theorem ordom
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn 4271 . . . 4 ((x y y 𝜔) → x 𝜔)
21gen2 1336 . . 3 xy((x y y 𝜔) → x 𝜔)
3 dftr2 3847 . . 3 (Tr 𝜔 ↔ xy((x y y 𝜔) → x 𝜔))
42, 3mpbir 134 . 2 Tr 𝜔
5 treq 3851 . . . 4 (y = ∅ → (Tr y ↔ Tr ∅))
6 treq 3851 . . . 4 (y = x → (Tr y ↔ Tr x))
7 treq 3851 . . . 4 (y = suc x → (Tr y ↔ Tr suc x))
8 tr0 3856 . . . 4 Tr ∅
9 suctr 4124 . . . . 5 (Tr x → Tr suc x)
109a1i 9 . . . 4 (x 𝜔 → (Tr x → Tr suc x))
115, 6, 7, 6, 8, 10finds 4266 . . 3 (x 𝜔 → Tr x)
1211rgen 2368 . 2 x 𝜔 Tr x
13 dford3 4070 . 2 (Ord 𝜔 ↔ (Tr 𝜔 x 𝜔 Tr x))
144, 12, 13mpbir2an 848 1 Ord 𝜔
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   wcel 1390  wral 2300  c0 3218  Tr wtr 3845  Ord word 4065  suc csuc 4068  𝜔com 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-iinf 4254
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-tr 3846  df-iord 4069  df-suc 4074  df-iom 4257
This theorem is referenced by:  omelon2  4273  limom  4279
  Copyright terms: Public domain W3C validator